¿Hay otras distribuciones además de Cauchy para las cuales la media aritmética de una muestra sigue la misma distribución?

Question

Si $X$ sigue una distribución de Cauchy, a continuación, $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ también sigue exactamente la misma distribución en $X$; ver este hilo.

• ¿Esta propiedad tiene un nombre?

• Hay otras distribuciones para las que esto es cierto?

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Otra manera de plantear esta pregunta:

deje $X$ ser una variable aleatoria con densidad de probabilidad $f(x)$.

deje $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ donde $X_i$ denota la i-ésima observación de $X$.

$Y$ sí puede ser considerada como una variable aleatoria, sin condicionamientos de ningún tipo específico de valores de $X$.

Si $X$ sigue una distribución de Cauchy, entonces la función de densidad de probabilidad de $Y$ $f(x)$

Hay otros tipos de (no trivial*) funciones de densidad de probabilidad para $f(x)$ que el resultado en $Y$ tener una función de densidad de probabilidad de $f(x)$?

*El único ejemplo que se me ocurre es una delta de Dirac. es decir, no una variable aleatoria.

Answer 1

Esto no es realmente una respuesta, pero al menos no parece ser fácil para crear un ejemplo de una distribución estable. Que sería necesario para producir una r.v. cuya función característica es la misma que la de su promedio.

En general, un iid empate, el c.f. de la media es

$$ \phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n $$ con $\phi_X$ c.f. de una sola r.v. La estabilidad de las distribuciones con el parámetro de localización de cero, tenemos $$ \phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\}, $$ donde $$ \Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{casos} $$ La distribución de Cauchy corresponde a $\alpha=1$, $\beta=0$, de modo que $\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$, de hecho, para cualquier parámetro de escala $c>0$.

En general, $$ \phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\}, $$ Para obtener $\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$, $\alpha=1$ parece, así \begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*} pero $$ \log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right| $$