Encontrar $a,b,c \in \Bbb N$ tal que $n^3+a^3=b^3+c^3$

Question

¿Es cierto que existen para cada $n \in \Bbb N$, $a,b,c \in \Bbb N$ respeto $$ n ^ 3 + a ^ 3 = b ^ 3 + c ^ 3, $$ donde $\operatorname{gcd}(a,b,c)=1$ y $b,c\ne n$?

Revisé todos los enteros positivos menos que 1000, parece verdad pero no saben demostrarlo.

Tenemos $n^3+(3 n^3 + 3 n^2 + 2 n)^3=(3 n^3 + 3 n^2 + 2 n + 1)^3 - (3 n^2 + 2 n + 1)^3$, pero hay un número negativo en el lado derecho.

Answer 1

Una verificación rápida de la muestra que hemos $$ n^3 + (3 n^3 - 3 n^2 + 2 n)^3 = (3 n^3 - 3 n^2 + n 2 n -1)^3 + (3 n^2 - 2 n + 1)^3 $$ Edit 1: Si yo no cometer ningún error esta es la única cúbicos de parametrización. No hay cuadrática.

Para $n\in\mathbb N \implies n\geq 1$, escribir $a,b,c$ $$ \begin{align} a &= 3 n^3 - 3 n^2 + 2 n = n (2 n^2 - 1) + (n - 1)^3 + 1\\ b &= 3 n^3 - 3 n^2 + 2 n -1 = n (2 n^2 - 1) + (n - 1)^3\\ c &= 3 n^2 - 2 n + 1 = 2n^2 + (n-1)^2 \end{align} $$ vemos que $a,b,c \in \mathbb N$ y claramente $c\neq n$. Por último, desde $$ a - b = 1, $$ debemos tener siempre $$ \gcd(a,b,c) = 1 $$ Por lo tanto la afirmación es verdadera.

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Este se encuentra a través de una paramétrica de búsqueda de $$ \begin{align} a &= a_3 n^3 + a_2 n^2 + a_1 n + a_0\\ b &= b_3 n^3 + b_2 n^2 + b_1 n + b_0\\ c &= c_3 n^3 + c_2 n^2 + c_1 n + c_0 \end{align} $$ En particular, los coeficientes de $n^9$ $n^0$ satisface $$ \begin{align} a_3^3 &= b_3^3 + c_3^3\\ a_0^3 &= b_0^3 + c_0^3 \end{align} $$ por Último Teorema de Fermat nos puede asumir uno de $\{a_3,b_3,c_3\}$ y uno de $\{a_0,b_0,c_0\}$ $0$ a acelerar las cosas un poco.