Cubrir el plano euclidiano con líneas y círculos construibles

Question

Es un hecho conocido que el conjunto de puntos que son finitamente construibles con regla y compás (partiendo de dos puntos $0$ y $1$ ) no cubre el plano euclidiano $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ porque sólo $\mathbb{Q}^{\sqrt{}}\times \mathbb{Q}^{\sqrt{}}$ es finitamente construible (que es un conjunto contable).

[Pregunta complementaria 1: ¿Cuál es el nombre oficial (y el símbolo) del conjunto que yo llamo $\mathbb{Q}^{\sqrt{}}$ , es decir, el conjunto de aquellos números que pueden definirse por adición, sustracción, multiplicación, división y tomando la cuadrado raíz sola (a partir de $0$ y $1$ ). Nótese que el conjunto de números algebraicos $\mathbb{Q}^\text{alg}$ permite tomar arbitrario raíces].

Pero en el proceso de construcción de puntos con regla y compás se "crean" muchos otros puntos, simplemente dibujo lo permitido líneas y círculos que se necesitan para tomar intersecciones (permitidas = definidas por puntos previamente construidos). Sólo esos puntos cuentan como construido que son intersecciones de dichas líneas y círculos construidos con otras líneas y círculos construidos. Pero los otros al menos han sido dibujado .

Mi pregunta es:

¿Tiene sentido preguntarse -y cómo se puede probar o refutar- si $\mathbb{R}^2$ puede ser "finitamente cubrible" en el sentido de que para cualquier punto dado $p \in \mathbb{R}^2$ hay una línea o un círculo construible en un número finito de pasos (partiendo de puntos $[0,0]$ y $[1,0]$ ) que $p$ ¿mentiras?

La pregunta y la respuesta no son triviales a primera vista (al menos no para mí), porque el número de puntos construidos crece increíblemente rápido, y el número de líneas y círculos construidos crece aún más rápido (aproximadamente de forma cuadrática, porque cada par de nuevos puntos da -aproximadamente- una nueva línea y dos nuevos círculos).

[Pregunta complementaria 2: ¿Puede darse una estimación aproximada de la tasa de crecimiento del número de puntos, líneas y círculos, cuando se parte de $n$ puntos en posición general o regular].

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Para dar un poco de azúcar visual a mi pregunta: Estos son los puntos, líneas y círculos construibles después de sólo tres pasos (empezando por dos puntos $0$ (rojo) y $1$ (naranja)). (Cada intersección de una línea o círculo con otra línea o círculo es un punto construido, y hay miríadas de ellos, después de sólo tres pasos).

Esto es después de dos pasos:

Así es como se ve después de sólo dos pasos cuando se empieza con cinco puntos $0, 1, -1, i, -i$ .

[Pregunta complementaria 3: ¿Qué podría ser la pequeña (e internamente estructurada) cruz blanca en el centro (alrededor de $(0,0)$ (rojo)) "significa"]

Esto es después de un paso:

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En aras de la exhaustividad:

Aquí es donde el dos puntos $0$ , $1$ comenzó:

Y aquí es donde el cinco puntos $0$ , $1$ , $i$ , $-1$ , $-i$ comenzó:

Answer 1

Es la unión contable de conjuntos de medida 0, por lo que su medida es 0.

Answer 2

La ecuación de cualquier línea o círculo construible tendrá coeficientes algebraicos. Así, si $x$ y $y$ son algebraicamente independiente (digamos, $x=\pi$ , $y=e^{\pi}$ ), entonces $(x,y)$ no puede ser dibujado de esta manera.

Answer 3

He aquí un argumento geométrico (en lugar de algebraico).

Dejemos que $C$ sea el conjunto de puntos de $\mathbb{R}^2$ que se encuentran o bien en una línea que pasa por dos puntos construibles o bien en un círculo de radio cuyos extremos son construibles, entendiendo por "construible" que se puede construir a partir de un conjunto finito de puntos fijos mediante construcciones con regla y compás en un número finito de pasos.

Demostraremos que $C \ne \mathbb{R}^2$ .

Para ver esto, definiremos una familia de conjuntos $P_n$ , para $n \in \mathbb{N}$ , de forma inductiva como sigue:

• Dejemos que $P_0$ sea el conjunto (finito) de puntos con el que se empieza;
• Con $P_n$ definida, dejemos que $P_{n+1}$ es el conjunto de puntos que se encuentran en la intersección de dos líneas o círculos (no coincidentes) definidos a partir de $P_n$ donde una "línea definida desde $P_n$ ' significa que uno pasa por dos elementos distintos de $P_n$ y un "círculo definido a partir de $P_n$ ' significa uno con un radio cuyos puntos extremos son elementos distintos de $P_n$ .

A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $C_n$ sea el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^2$ que se encuentran en una línea o círculo definido desde $P_n$ .

Obtenemos el conjunto $C$ como la unión de todos los conjuntos $C_n$ : $$C = \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} C_n$$

Ahora basta con demostrar que $C_n$ es denso en ninguna parte para cada $n \in \mathbb{N}$ para que $C \ne \mathbb{R}^2$ por el teorema de la categoría de Baire (véase BCT3 aquí ).

Para demostrar este basta con demostrar que $P_n$ es finito para cada $n \in \mathbb{N}$ . En efecto, cada línea y círculo definidos a partir de $P_n$ está determinada por dos elementos de $P_n$ , de modo que si $P_n$ es finito, entonces $C_n$ es una unión finita de líneas y círculos. Como las líneas y los círculos no son densos en ninguna parte, se deduce que $C_n$ es una unión finita de conjuntos no densos en ninguna parte, por lo que ella misma es no densa en ninguna parte.

Por último, demostrar $P_n$ es finito para cada $n \in \mathbb{N}$ es una inducción fácil en $n$ . De hecho, $P_0$ es finito por supuesto, y si $P_n$ es finito, entonces $P_{n+1}$ es finito, ya que dos líneas o círculos no coincidentes sólo pueden cruzarse en $0$ , $1$ o $2$ puntos, y sólo hay un número finito de líneas y círculos definibles a partir de $P_n$ .

Answer 4

Respuesta de Acccumulation es realmente la fundamental, es decir, se reduce al hecho de que los conjuntos de medida cero son cerrados bajo la unión contable. Pero aquí hay un despliegue concreto de ese hecho aplicado a este problema: $ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} $

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Fijar una enumeración de su colección de líneas y círculos. Demostraremos que podemos cubrir el $k$ -por una colección contable de cuadrados con un área total de a lo sumo $2^{-k}$ lo que implicaría que toda su colección puede ser cubierta por una colección contable de cuadrados con área total a lo sumo $1$ y por lo tanto su colección no cubre el plano porque el plano no puede ser cubierto por ninguna colección contable de cuadrados con área total finita.

En primer lugar, observe que cada línea puede dividirse en un número contable de segmentos de longitud finita. A continuación, observe que cualquier círculo o segmento de línea puede ser cubierto por un número finito de cuadrados con área total $$, for any real $ > 0 $. This is very easy for a line segment. To convince yourself concretely that it is true for a circle, impose a Cartesian plane with origin at the centre of the circle, and overlay a square grid with grid spacing $ 1/n $. Then in each quadrant the circle is monotonic in both coordinates and hence passes through (the interior of) at most $ 2(rn+1) $ squares, where $ r $ is the radius of the circle. Thus the circle passes through squares with total area at most $ \lfrac{8(rn+1)}{n^2} $, which can be made smaller than $$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .

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Para demostrar rigurosamente que el plano no puede ser cubierto por ninguna colección contable de cuadrados con área total finita, habría que introducir al menos la noción de área de una unión de una colección contable de cuadrados, lo que puede hacerse de varias maneras, como por ejemplo mediante la integral de Riemann. Entonces sería obvio que el área de una unión contable de cuadrados es como máximo la suma de sus áreas.

Answer 5

Este conjunto es ciertamente denso en $\mathbb{R}^2$ . En otras palabras $\overline{\mathbb{Q}^{\sqrt{}}}=\mathbb{R}$ . Hay una zona llamada Aproximación diofantina donde uno podría preguntarse qué tan cerca podemos estar del número real con líneas y círculos. También hay que tener en cuenta teoría de la complejidad .