Comprender una deducción "obvia" en el análisis

Question

En Primaria la topología de lapágina $365$ lee:

Desde $\varphi(s)<s$$s\in (0,1)$, se desprende que la secuencia de $\varphi^n(s)$ es monótonamente decreciente, y se ve fácilmente que tiende a $0$ por cada $s\in (0,1)$

$($aquí $\varphi^n (s)$ denota $\varphi(\varphi(\cdots \varphi(s)\cdots ),\;n$ veces $\varphi $ es continua $(0,1)\to(0,1))$

No entiendo por qué es "fácil" para ver que $\varphi^n(s)\to 0$. Lo que impide la convergencia a algunos $0<\lambda <1?$ estoy adivinando la continuidad entran en juego, pero no veo cómo.

Answer 1

Supongamos$\varphi(s)<s$ para$s\in(0,1)$ con$\varphi:(0,1)\to(0,1)$ continuo. Deje que$s\in (0,1)$ sea reparado. Con la condición de$\varphi$,$s>\varphi(s)>\varphi(\varphi(s))=\varphi^2(s)>\varphi^3(s)>\cdots$, entonces$\varphi^n(s)$ converge a algunos$\lambda\in[0,1)$.

Por contradicción, supongamos que$\lambda>0$. Entonces$\lambda=\lim\varphi^n(s)$ en$(0,1)$. Por continuidad, obtenemos$\varphi(\lambda)=\lim \varphi^{n+1}(s)=\lim\varphi^n(s)=\lambda>\varphi(\lambda)$, una contradicción.

Por lo tanto, $\varphi^n(s)\rightarrow 0$.