Ampliación del automorfismo de $G$ a $G/N$

Question

En los Temas de Álgebra de Herstein, hay un problema:

Si $G$ es un grupo, $T$ un automorfismo de $G$ y $N$ un subgrupo normal de $G$ , s.t. $(N)T \subset N$ construye un automorfismo de $G/N$ .

Mi primera idea fue definir simplemente $T^{\prime}$ : $(Nx)T^{\prime}=N(xT)$ pero desgraciadamente esto no es necesariamente uno a uno (por ejemplo $G=\mathbb{R}$ , $N=\mathbb{Z}$ , $xT=2x$ ).

Así que mi pregunta es: ¿hay alguna forma significativa de ampliar $T$ que debo buscar, o simplemente debo imponer el requisito de que $(N)T=N$ ? Si es así, por favor, sólo dar una pista de la dirección que debería estar mirando más, estoy tratando de resolver estos problemas a mí mismo.

Gracias de antemano.

P.D. Si la notación es un poco rara, es porque estoy usando la notación de Herstein, en particular la convención de escribir los mapeos a la derecha.

Answer 1

Un ejemplo un poco más pequeño debería justificar su suposición de que $(N)T=N$ .

Tome $G=\mathbb{Q}$ , $N=\{ \tfrac{a}{2b+1} : a,b \in \mathbb{Z} \}$ y $T:G\to G:x\mapsto 2x$ . Entonces $G/N$ es un grupo de 2, por lo que si $x \in G/N$ es tal que $(x)T' = 2x$ entonces $x=N$ es la identidad. Así que $T'$ no puede definirse de forma directa a partir de $T$ ; sólo se pondrá de acuerdo en la identidad.

El grupo de automorfismo de $G$ es isomorfo a $\mathbb{Q}$ mientras que el grupo de automorfismo $G/N$ es isomorfo al grupo aditivo $J_2$ de enteros 2-ádicos. El único homomorfismo de $\mathbb{Q}$ a $J_2$ es el homomorfismo cero.

En otras palabras, si necesita el mapa de $T$ a $T'$ sea un homomorfismo (de modo que $T'S' = (TS)'$ ), entonces $(x)T' = x$ para todos $x \in G/N$ y $T \in \operatorname{Aut}(G)$ . La sugerencia de @xaviermo2 puede ser la única posibilidad sana.