¿Por qué tenemos que Hom es un functor exacto en la situación que se describe a continuación?

Question

Se nos da una finito $p$grupo $G$ y un finito $G$-módulo de $M$ tal que $pM=0$ (por lo $M$ es en particular un $\mathbb{F}_p$-espacio vectorial). Además tenemos una arbitraria $G$-módulo de $N$ que también es $\mathbb{F}_p$-espacio vectorial. A continuación, consideramos que la secuencia exacta corta $$0\longrightarrow M^G \overset{i}{\longrightarrow} M \overset{\pi}{\longrightarrow} M/M^G \longrightarrow 0$$ con $i$, reps. $\pi$, la inclusión natural, resp. de proyección.
Desde $Hom(\cdot,N)$ (aquí se $Hom(\cdot,N)=Hom_\mathbb{Z}(\cdot,N)$, es decir, sólo tenemos en cuenta la estructura del grupo de los módulos, es decir, $Hom(\cdot,N)$ denota grupo moprhisms) es un contravariante izquierda-functor exacto, obtenemos la secuencia exacta $$0\longrightarrow Hom\left(M/M^G,N\right)\longrightarrow Hom(M,N)\longrightarrow Hom\left(M^G,N\right)$$ of $G$-módulos.
Sin embargo, hay aún más, tenemos que $Hom(M,N)\longrightarrow Hom\left(M^G,N\right)$ es surjective. (Sé que esto es cierto, pero yo no soy capaz de mostrar.) de modo que la secuencia exacta se extiende a $$0\longrightarrow Hom\left(M/M^G,N\right)\longrightarrow Hom(M,N)\longrightarrow Hom\left(M^G,N\right)\longrightarrow 0$$ I was trying to show that we have a split of $i$ (i.e. a map, say $t$, such that $t\circ i=id_{M^G}$) with something of the form $$m\in M \longmapsto \sum_{g\in G}g.m \in M^G$$ pero no funciona.
Hay alguna sugerencia mejor para probar esta surjectivity? Gracias de antemano.

Answer 1

No es verdad.

Por ejemplo, permita que$G$ sea un grupo cíclico de orden 2,$k=\mathbb{F}_2$ el campo de dos elementos,$M=kG$ el módulo regular$kG$ -, de modo que$M^G$ es el trivial$kG$ - module$k$, y$N=M^G=k$ the trivial$kG$ - module.