$\mathrm{SU(3)}$ descomposición de $\mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}$?

Question

Tengo una pregunta sobre el tensor de la descomposición de la $\mathrm{SU(3)}$. Según Georgi (página 142 y 143), un tensor $T^i{}_j$ se descompone como: \begin{equation} \mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1} \end{equation} donde el $\mathbf{1}$ representa la traza. Sin embargo, no entiendo por qué no es posible descomponer la traceless parte en una simétrica y antisimétrica parte.

Con el fin de entender mi lógica: Un tensor general $\varphi^i$ transforma: \begin{equation} \varphi^i \rightarrow U^i{}_j \varphi^j \end{equation} mientras que $\varphi_i$ transforma: \begin{equation} \varphi_i \rightarrow (U^*)_i{}^j \varphi_j \end{equation} donde $U \in \mathrm{SU(3)}$ $3 \times 3$ matriz. Ahora, voy a dejar $S^i{}_j$ denotar la traceless parte de $T^i{}_j$ ($S^i{}_j$ tiene dimensiones de la $\mathbf{8}$) y podemos descomponer esta en el "simétrica" y "antisimétrica" parte como de costumbre: \begin{equation} S^i{}_j = \frac{1}{2}(S^i{}_j + S_j{}^i) + \frac{1}{2}(S^i{}_j - S_j{}^i) \end{equation} A continuación, en virtud de un $\mathrm{SU(3)}$ transformación: \begin{equation} S^i{}_j + S_j{}^i \rightarrow U^i{}_k (U^*)_j{}^l S^k{}_l + U^i{}_k (U^*)_j{}^l S^k{}_l = U^i{}_k (U^*)_j{}^l (S^i{}_j + S_j{}^i) \end{equation} y: \begin{equation} S^i{}_j - S_j{}^i \rightarrow U^i{}_k (U^*)_j{}^l S^k{}_l - U^i{}_k (U^*)_j{}^l S^k{}_l = U^i{}_k (U^*)_j{}^l (S^i{}_j - S_j{}^i) \end{equation} Por lo tanto, la simétrica parte mantiene su simetría y la parte antisimétrica mantiene su antisymmetry. Por lo tanto dos subespacios invariantes son creados y la representación es reducible? Para resumir, yo creo que descomponen $T^i{}_j$ como: \begin{equation} \mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{3} \oplus \mathbf{5} \oplus \mathbf{1} \end{equation} donde $\mathbf{3}$ indica las dimensiones de la parte antisimétrica y $\mathbf{5}$ indica las dimensiones de la parte simétrica. A donde voy mal?

Edit: tengo mis convención de "Invariances en la Física y la Teoría de grupos" de Jean-Bernard Zuber:

Answer 1

Ok, creo que hay un error aquí:

Un tensor general $\varphi^i$ transforma: $$\varphi^i\rightarrow U^i_{\phantom{1}j}\varphi^j$$ whereas $\varphi_i$ transforma como: $$\varphi_i\rightarrow (U^\boldsymbol{\ast})_i^{\phantom{1}j}\varphi_j$$

¿Dónde se encuentra la de estas ecuaciones? La central unitaria de elemento de la matriz en la segunda línea no debe ser un complejo conjugado. No recuerdo Giorgi, las convenciones, pero la costumbre de la notación a lo que estoy acostumbrado, es esta: $$U_i^{\phantom{i}j}=U_{ij},\quad \varphi_i\rightarrow U_i^{\phantom{1}j}\varphi_j\\ U^i_{\phantom{i}j}=U^\ast_{ij},\quad \varphi^\ast_i\equiv \varphi^i\rightarrow U^i_{\phantom{1}j}\varphi^j\equiv(U_i^{\phantom{i}j}\varphi_j)^\ast.$$ Por lo tanto, las ecuaciones entiendo: $$(U^\ast)_i^{\phantom{i}j}\equiv U^\ast_{ij}=U^i_{\phantom{i}j}$$ y no proporciona el derecho de transformación de la ley de $\varphi_i$.

EDIT: bueno, siempre los comentarios anteriores, permítanme aclarar algunas cuestiones con la notación, que puede llevar a confundir el significado de estas, las leyes de transformación. Elijamos a la convención para denotar $SU(N)$ transformaciones, que es $N\times N$ unitario matrices con determinante, con letras mayúsculas, como $U$, y la base de los estados (escalares, vectores y tensores) con minúsculas las letras griegas, $\psi\in \mathbb{C}^N$. Por ejemplo, el vector de estados de transformación como: $$\psi\to U\psi,\quad \psi_i\to U_{ij}\psi_j\equiv U_i^{\ j}\psi_j$$ Tenga en cuenta que aquí he seguido la convención de escritura de la base de los estados de la fundamental o representación vectorial con índices menores, como Georgi ¿y como se puede encontrar aquí. Esta es la convención que estoy acostumbrado, pero nada te detiene para hacer lo contrario, la elección de superior índices! Tenga en cuenta también que $U\psi$ representa el producto ordinario de una $N\times N$ matriz por un vector $\psi=(\psi_1,\ldots,\psi_N)^T$, y producir un vector del mismo tipo. En la notación $U_{ij}$ el índice de $i$ representa las filas, mientras que el segundo índice $j$ representa las columnas. Se acostumbra a escribir como $U_i^{\ j}$ a distinguir las filas y las columnas. $\psi_i$ es un vector columna y $i$ cuenta en sus filas. Puede definir el conjugado de la representación por medio de la conjugación de los vectores $\psi_i^\ast$, cuya transformación es la ley $$\psi^\ast\to (U\psi)^\ast=\psi^\ast U^\ast,\quad \psi_i^\ast\to (U^\ast)_{ij}\psi_j^\ast=\psi_j^\ast(U^\dagger)_{ji}$$ Desde estas conjugado vectores de transformación en una manera diferente con respecto a $\psi_i$, es útil introducir superior índices para distinguirlos: $$\psi^i\equiv \psi_i^\ast \to U^\ast_{ij}\psi_j^\ast\equiv U^i_{\ \ j} \psi^j.$$ Como se puede ver, ahora los índices son "resumida en la parte inferior-derecha". La extensión a cualquier arbitrario $(p,q)$-tensor es trivial, su transformación ley son aquellos que de forma directa (en diagonal) producto de $p$ tipo $\psi^i$ vectores y $q$ tipo $\psi_i$ vectores: $$\psi^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}\to \big(U_{j_1}^{\ \ j'_1}\cdot\ldots\cdot U_{j_q}^{\ \ j'_q}\big)\big(U^{i_1}_{\ \ i'_1}\cdot\ldots\cdot U^{i_p}_{\ \ i'_p}\big)\psi^{i'_1\ldots i'_p}_{j'_1\ldots j'_q}.$$ Desde la parte superior e inferior de los índices representa objetos diferentes no tiene sentido la mezcla de ellos.

Answer 2

En primer lugar, si usted toma la fundamental de la representación (representación $N$) $SU(N)$ $N$ objetos de $\varphi^i$, la transformación de la ley es :

$\varphi^i \to U^i{}_j \varphi^j$.

Tomando el conjugado complejo, se obtiene : $\varphi^{*i} \to (U^*)^i{}_j \varphi^{*j}= (U^\dagger)^j{}_i \varphi^{*j}$.

Ahora bien, mirando la última expresión con $U^\dagger$, uno ve que es más práctico para definir los objetos $\varphi_i$, que transforman como $\varphi^{*i}$ :

$\varphi_{i} \to (U^\dagger)^j{}_i \varphi_{j}$,

Esta es la representación $\bar N$

Ahora claramente, al realizar el producto de las dos representaciones $N$$\bar N$, usted tiene una representación $T^i_j$ que se transforma a medida $\varphi^i\varphi_j$ :

$T^i_j \to (U)^i_k (U^\dagger)^l_j T^k_l$

En segundo lugar, usted no puede symmetrize o anti-symmetrize la representación $N \otimes \bar N$$T^i_j$, debido a que los índices de $i$ $j$ tienen una naturaleza diferente, y corresponden a diferentes representaciones.

Ahora, si consideramos la representación $N \otimes N$, que es una representación $S^{ij}$, entonces aquí usted puede separe en una simétrica y anti-simétrica parte, por ejemplo, se tiene :

$3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar 3 $

El $6$ es la simétrica de la pieza, mientras que el $\bar 3$ es de doble (o equivalente) para el anti-simétrica, en parte, gracias a la de Levi-Civita tensor : $\varphi_i = \epsilon_{ijk} \varphi^{jk}$

[EDITAR]

Debido a OP comentarios, algunas precisiones :

Ha $U^\dagger = (U^*)^T$ donde $T$ significa que transpuso la operación. La transposición de medios de intercambio de las filas y de columnas de la matriz, que es el intercambio de la $i$ $j$ índices. Si usted pone el indice de la fila como un límite superior indice y la columna indice como un menor indice, luego el cambio necesariamente va a poner el indice de la fila como un menor indice, y la columna indice como superior indice. Su notación $(U^*)^i{}_j = (U^\dagger)_j{}^i$ es un no-muy-buena notación equivalente, digo no muy buena, porque pierdes el original en el sentido de que se describen anteriormente .Acerca de las representaciones, esto es una cosa diferente (no son el mismo $i$$j$...), la parte superior del indice transforma como un $N$ de representación, y el menor indice transforma como un $\bar N$ de representación, así es como las manzanas y los plátanos, sólo puede symmetrize o anti-symmetrize equivalente a las cantidades que se transforman en la misma manera ($2$ manzanas o $2$ bananas), pero no $1$ banano + $1$ apple