Integración de alrededor de un poste

Question

Recientemente hizo la siguiente observación:

Supongamos que $f(z)$ tiene una extensión de Laurent en $z=z_{0}$ de la forma

$$ f(z) = \sum{k=-n}^{0} a{2k-1} (z-z_{0})^{2k-1} + g(z) \, ,$$

donde la función $g(z)$ es analítica en $z_{0}$.

Entonces si $C_{r}$ es un semicírculo hacia la izquierda orientado de radio %#% en $r$ #%

$z_{0}$$

¿Es correcta mi observación?

Intento de una prueba:

$$\lim{r \to 0} \int{C{r}} f(z) \, dz = i \pi \, \text{Res}[f,z{0}].$$

Y puesto que limita $$ \begin{align} \int{C{r}} f(z) \, dz &= \int{\alpha}^{\alpha + \pi}f(z{0}+re^{it}) \ i r e^{it} \, dt \ &= \int{\alpha}^{\alpha + \pi} \left(\sum{k=-n}^{0} a{2k-1} (re^{it})^{2k-1} + g(z{0}+re^{it}) \right) i r e^{it} \, dt \ &= i \sum{k=-n}^{-1}a{2k-1} r^{2k} \int{\alpha}^{\alpha + \pi} e^{2ikt} \, dt + i a{-1} \int{\alpha}^{\alpha + \pi} \, dt + i r \int{\alpha}^{\alpha + \pi} g(z{0}+re^{it}) \, e^{it} \, dt \ &= i \sum{k=-n}^{-1}a{2k-1} r^{2k} \, \underbrace{\frac{e^{2ik \alpha}e^{2i k\pi} - e^{2ik \alpha}}{2ik}}{0}+ i a{-1} (\pi) + i r \int{\alpha}^{\alpha + \pi} g(z{0}+re^{it}) \, e^{it} \, dt \ &= i \pi \, \text{Res}[f(z), z{0}] + i r \int{\alpha}^{\alpha + \pi} g(z{0}+re^{it}) \, e^{it} \, dt \end{align}$,

$|g(z_{0} + re^{it})|$$

Answer 1

Como Daniel Fischer dijo, el cálculo es correcto (ahora que los errores fueron corregidos). Aquí está una prueba más.

Suponga $z_0=0$ por la simplicidad. También ignoran el $g$ parte porque su contribución es pequeña (delimitada por $\pi r \sup|g|$, lo que tiende a $0$). Deje $C$ $C'$ ser complementaria de la mitad de los círculos de círculo $|z|=r$. El cambio de las variables de $z=-\zeta$ rendimientos $$\int_{C'} f(z)\,dz = \int_C -f(-\zeta) \,d\zeta$$ Observe que $f$ es una función impar: $-f(-\zeta)=f(\zeta)$. Por lo tanto
$$ \int_{C'} f(z)\,dz = \int_{C} f(z)\,dz $$ La suma de estas integrales es $\int_{|z|=r} f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f,0)$. La conclusión de la siguiente manera.