Definir "intervalo" usando solo la noción de punto medio

Question

Estoy tratando de caracterizar el continuum $\mathcal{C}$ utilizando sólo la noción de punto medio, es decir, la operación $\mu : \mathcal{C}\times\mathcal{C} \to \mathcal{C}$ la asignación para cada par de puntos el punto medio entre ellos. Pensé en la definición de "unbounded" intervalo como un conjunto $I \subseteq \mathcal{C}$ tal que $I$ $\mathcal{C}\backslash I$ son cerrados bajo $\mu$. Pero es que, incluso, cierto?

Mis pensamientos hasta el momento: Si $I$ tiene la anterior propiedad, pero no es un intervalo, entonces ambos $I$ $\mathcal{C}\backslash I$ son densos en $\mathcal{C}$ y noncountable (es fácil encontrar una inyección de una dentro de la otra)...

Answer 1

Trabajando con la definición habitual de $\mathbb R$ (y suponiendo que la elección), podemos definir un conjunto $I$ que no suelta intervalo, pero para que tanto $I$ $\mathbb R \setminus I$ están cerrados en tomar los puntos medios. (Yo uso $\mathbb R$ a referirse a la noción habitual de realnumberness de distinguir de $\mathcal C$ que desea construir desde la base.)

Elegir una base de Hamel para $\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$, y deje $b$ ser un elemento de esa base. A continuación, defina $I$ a ser el conjunto de todos los elementos de a$\mathbb R$, de modo que, cuando se representan en base a esto, el coeficiente de $b$ es no negativa.

Si hacemos esto, entonces los dos $I$ $\mathbb R\setminus I$ son cerrados bajo punto medio. Si $x, y \in \mathbb R$ $b$- coeficientes de $x_b, y_b$, $\frac{x+y}{2}$ $b$- coeficiente de $\frac{x_b+y_b}{2}$. Así que si $x_b, y_b \ge 0$,$\frac{x_b+y_b}{2} \ge 0$, y si $x_b, y_b < 0$,$\frac{x_b + y_b}{2} <0$.

También vale la pena señalar que si $I$ $\mathbb R\setminus I$ son cerrados bajo los puntos medios, y $I$ está delimitada desde arriba, a continuación, $I$ es una desenfrenada intervalo. Deje $x = \sup I$. Para cualquier $\epsilon>0$, hay algunos $y \in I$$y > x-\epsilon$. Si ahora llevamos $z < x-2\epsilon$,$2y-z > x$, lo $2y-z \notin I$. Así que debemos tener $z \in I$ o más $\frac{z + (2y-z)}{2} = y \notin I$ sería una contradicción. Por lo tanto, $(-\infty, x-2\epsilon) \subseteq I$ todos los $\epsilon$, y por lo tanto su unión, $(-\infty, x)$, está contenida en $I$. Por lo $I$ es $(-\infty,x]$ o $(-\infty,x)$ dependiendo de si $x \in I$ o no.