¿Cuál es el hipervolumen de un tetraedro 4D ($5$ - cell)?

Question

He aquí cómo surgió esta pregunta en mi mente:

• área de un triángulo: $\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

• el volumen de un tetraedro: $\frac{1}{3} \cdot A \cdot h$

De modo que el objeto en 2D ha $\frac{1}{2}$ en la fórmula, el objeto 3D ha $\frac{1}{3}$ en su fórmula...¿el 4D objeto $\frac{1}{4}$ en su fórmula? Y si es así, ¿por qué hay una progresión lineal en lugar de algo exponencial?

La pregunta concreta es, ¿cuál es el hipervolumen de una $4$-dimensiones tetraedro?, aka $5$-célula o pentachoron.

(PS, yo la vi en 2D y 3D, como las etiquetas, pero no se 4D o hyper dimensional de la etiqueta. No sé qué más para la etiqueta.)

Answer 1

De hecho, el $n$-simplex = "$n$-dimensiones tetraedro" (y, de hecho, todos los $n$-dimensiones de cono, de los cuales el $n$-simplex es simplemente un caso especial) tiene que el factor de $1/n$. Esto es fácilmente visible por el hecho de que el volumen de la $n$-dimensiones tetraedro es \begin{aligned} V_n &= \int_0^h V_{n-1}(z)\,\mathrm dz\\ &= \int_0^h V_{n-1}(0)\left(\frac{h-z}{h}\right)^{n-1}\,\mathrm dz && \text{substitute %#%#%}\\ &= \frac{V_{n-1}}{h^{n-1}}\int_0^hw^{n-1}\,\mathrm dw\\ &= \frac{V_{n-1}}{h^{n-1}}\frac{h^n}{n}\\ &= \frac{V_{n-1}h}{n} \end{aligned} Aquí $w=h-z$ es el volumen de la $V_n$-dimensiones de cono, $n$ $V_{n-1}(z)$- dimensiones de volumen ("área") de la "horizontal" rebanada a la altura de la $(n-1)$ por encima de la base, $z$ $V_{n-1}=V_{n-1}(0)$- dimensiones del volumen de la base, y $(n-1)$ es la altura del cono.

En la segunda línea, he usado el hecho de que todos los sectores del ritmo son versiones a escala de la base, con un factor de escala $h$, y los volúmenes de escala con el poder de la dimensión.