¿Cuál es el teorema espectral para la compacta auto-adjuntos a los operadores en un espacio de Hilbert en realidad?

Question

Por favor, disculpe la pregunta ingenua. He tenido dos clases ahora en que este teorema fue enseñado y demostrado, pero solo he visto una sola indirecta (?) aplicación que involucran el oscilador armónico cuántico. Incluso si este no es el más fuerte teorema espectral, todavía parece ser suficientemente útil que no debe haber muchos buenos ejemplos que ilustran su utilidad. Así que... ¿cuáles son algunos de esos ejemplos?

(No pude encontrar rápidamente cualquier niza ejemplos mirando a través de unos análisis funcional de los libros de texto, ya sea. Tal vez me he equivocado de libros.)

Answer 1

¿Cuál es el teorema espectral para operadores compactos? Aquí están algunos ejemplos. (Estoy ignorando la auto-adjunto aspectos, ya que en realidad no jugar un papel en el teorema. Y es válido para obtener más general de los espacios de Hilbert espacios demasiado, así que también voy a omitir esa parte, en el sentido de que yo no le preste mucha atención a si mis ejemplos lidiar con espacios de Hilbert en la nariz, en lugar de alguna de sus variantes.)

• Probando el Pedro--teorema de Weyl.

• Demostrando la descomposición de Hodge para cohomology de colectores (utilizando el hecho de que el inverso para el Laplaciano es compacto); Willie tomó nota de este ejemplo en su respuesta.

• Demostrando la finitud de cohomology coherente de las poleas en pequeño complejo de la analítica de los colectores.

• En su $p$-ádico versión, la teoría de operadores compactos es básico para la teoría de la $p$-ádico automorphic formas: por ejemplo, en la construcción de los llamados eigenvarieties la parametrización de $p$-ádico familias de automorphic Hecke eigenforms de finito de la pendiente.

• También es una herramienta básica en más problemas clásicos, como la teoría de las ecuaciones integrales. (Es en este contexto en el que la teoría se desarrolló por primera vez; ver Dieudonne del libro sobre la historia del análisis funcional para una muy agradable en cuenta el desarrollo histórico de la teoría.)

Answer 2

Tal vez una definición funcional de cálculo? El uso de la mecánica cuántica en la notación, si $a$ es auto-adjunto y compacto, entonces $A = \sum \lambda_k |k\rangle\langle k|$, lo que significa que por $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, podemos definir $f(A) = \sum f(\lambda_k) |k\rangle\langle k|$.

Esto nos permite dar una simple demostración de Piedra del teorema de tales operadores: que $\exp itA$ es fuertemente continuo de un parámetro grupo unitario en el espacio de Hilbert.

También da muy simple motivación para la construcción de funciones de Green y resolvent operadores.

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Además de los habituales del oscilador armónico cuántico, una construcción similar se puede utilizar para dar la descomposición de $L^2$ a través de funciones propias del Laplaciano en una compacta colector. Naturalmente, esto conduce a la descomposición de Hodge, que me han dicho que es generalmente considerado como algo útil :-)

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Que en una compacta colector, la inversa de la Laplaciano es un operador compacto significa que, descartando la armónica de funciones, el Laplaciano tiene un menor autovalor. Este hecho (y que la auto-adjointness le permite ser diagonalized) permite definir la Zeta-función determinante de la Laplaciano utilizando algunos de continuación analítica trucos. En 2-dimensiones cerrado superficies, esta es una interesante invariante con buen propiedades geométricas.

(Tenga en cuenta que en el caso de los no-compacto dominios, a la inversa de Laplace es ya no un compacto, y el operador Laplaciano tiene un espectro continuo. De modo que la suma en la zeta-función determinante ya no tiene ningún sentido...)

Answer 3

La única forma que conozco para demostrar "discreto" de alguna pieza de un espectro es encontrar uno o más operadores compactos en él, adecuadamente la separación de los puntos. Que es, de alguna manera, la única manejable operadores están íntimamente relacionados con la compacta.

Incluso a discutir la espectral de la teoría de la auto-adjunto operadores diferenciales $T$, los más felices son los casos donde $T$ ha compacto resolvent $(T-\lambda)^{-1}$.

En casos particulares, el de Schwartz núcleo teorema depende de la compacidad de las inclusiones de Sobolev en espacios en cada uno de los otros (Rellich del lema).

En automorphic formas: demostrar la distinción de los espacios de cuspforms, una muestra de que la natural integral de los operadores (después de Selberg, Gelfand, Langlands et alia) restringido al espacio de $L^2$ cuspforms son compactos.

Uno de Selberg argumentos de Bernstein boceto, Colin de Verdiere de la prueba, y (al parecer) la prueba en Moeglin-Waldspurger del libro (acreditado a Jacquet, acreditado a Colin de Verdiere!?) de meromorphic continuación de Eisenstein serie de varios tipos depende en última instancia de probar la compacidad de un operador.