¿Por qué es la fracción de un par de Fibonacci siempre la mejor estimación de la proporción áurea en su gama?

Question

Parece, que fib(n)/fib(n-1) siempre es la mejor aproximación de la proporción áurea se puede obtener, cuando el numerador es menor que el de la fib(n) y el denominador puede ser elegido arbitrariamente.

fib(n) es la n-esima número Fibonacci.

He probado esta forma algorítmica, y también la declaración parece intuitivamente correcto, pero me falta las habilidades para demostrarlo.

Es allí cualquier probar a esta?

Edit: (porque se ha marcado como duplicado) Yo sé, que el límite de estos pares de Fibonacci es la convergencia de la proporción áurea, y también sé de la prueba. Pero ¿por qué son estos pares de la mejor convergents?

Editar Nr2: Hay "para-Fibonacci"-secuencias como 1,3,4,7,11,18 que tienen el mismo convergente de la propiedad, sino que se encuentran más lento que el de la serie original. Así que el sólo hecho de, que converge, no dice nada acerca de la velocidad de convergencia.

Answer 1

Los ratios de Fibonacci son la continuación de la fracción convergents a $(1+\sqrt{5})/2$. Para cualquier número irracional $\alpha$, cada uno de sus continuó fracción convergents $p/q$ es la mejor aproximación racional a $\alpha$ entre todas las fracciones (en forma reducida) con denominador en la mayoría de las $q$. Pero para un entero positivo $d$ que no es un denominador de una continua fracción convergente a $\alpha$, la mejor aproximación racional a $\alpha$ con denominador en la mayoría de las $d$ no necesita ser entre la continuación de la fracción convergents a $\alpha$ con denominador en la mayoría de las $d$. Este punto es a menudo mal entendido.

Aquí es un ejemplo. La continuación de la fracción convergents a $\sqrt{3}$ con denominador en la mayoría de las $10$ son de 1, 2, 5/3, y 7/4, pero la mejor aproximación racional a $\sqrt{3}$ con denominador en la mayoría de las $10$ no es ninguna de esas fracciones. Es 12/7.

Resulta que los mejores aproximaciones racionales a un irracional $\alpha$ hasta un arbitrario límite en el denominador se encuentran entre los convergents e intermedios convergents para la continuación de la fracción de $\alpha$. Encontrar la definición de intermedio convergents en la página de Wikipedia para fracciones continuas. El intermedio convergents a $\sqrt{3}$ incluyen 12/7.

Para construir intermedio convergents a un nivel continuo de la fracción de $[a_1,a_2,a_3,\ldots]$ donde $a_i$ es un entero positivo para $i>1$, el uso de números enteros positivos a menos de $a_i$. Lo especial acerca de la $(1+\sqrt{5})/2$ es que la continuación de su fracción es $[1,1,1,1,\ldots]$, con cada una de las $a_i$ igual a $1$, por lo que no hay ningún intermedio convergents. Por lo tanto, las mejores aproximaciones racionales a $(1+\sqrt{5})/2$ siempre son la continuación de su fracción convergents, que son los ratios de Fibonacci.