Prime con una determinada suma de dígitos

Question

Supongamos $n>1$ no es divisible por 3. Hay un primer tales que la suma de sus dígitos decimales es igual a $n$?

Más en general, dada una base $b\ge2$ $n>1$ coprime a $b-1$, hay un primer tales que la suma de su base-$b$ dígitos es igual a $n$?

A primera vista esto parece ser una, obviamente, cierto, pero sin esperanza de demostrar declaraciones. Pero en la última década por autores tales como Drmota, Martin, Mauduit, Rivat, y Sárközy** hace que parezca plausible que el resultado es conocido.

Trivial resultados: $n=2$ obras, la elección de 2 en cualquier base. $n=3$ obras de elegir 3 de las bases por encima de 3 y 7 de otro modo. El más pequeño no evidentes caso es$n=4$, lo que he comprobado, incluso en bases a a $10^6.$ números más Grandes, sólo debería ser más fácil en términos de grados de libertad.

Tal vez el problema es más obvia de lo que parece, alguna idea?

** Nota: siempre Hay un riesgo de dejar a alguien fuera de una lista de autores. Para evitar una posible ofensa que he eliminado uno o dos autores al azar de mi lista original. Ahora el tiempo que yo he perdido tres nombres importantes que debo estar bien...!

Answer 1

Uno podría tenga en cuenta que si la suma ha de ser algo como $4$$6$, luego están las bases donde cada número con la excepción de $1$ ya es co-compuesto con la base. Por ejemplo, en la base de 120, los números 2, 3, 4, 5, y 6 ya divida la base, por lo que uno está buscando los números como 5.01, 1.04.01, 2.03.01, 3.02.01, 4.01.01, 5.00.01, etc.

Si se excluye la existencia de un número en sí (es decir, debe ser una adecuada suma), entonces la búsqueda es más bien difícil. Por ejemplo, en base 64, no existen instancias de $64^x+1$, lo que conduce a un número primo. Todos estos han algebraicas factores.

Pero parece que si una serie tiene un co-primeness, luego de un primer convierte, tarde o temprano, a veces mucho más tarde.