Fuga de tensor de curvatura implica ruta de la independencia de transporte paralelo sólo para los de segundo orden?

Question

Se puede demostrar que el tensor de curvatura de las medidas de la ruta de la independencia de transporte paralelo sólo para los de segundo orden.

Esto es algo comprensible ya que queremos un local (pointwise) medida de la curvatura, por lo que debe ser natural que $R$ esencialmente medidas "infinitesimal" transporte paralelo.

Sin embargo, es aceptado que el tensor de curvatura representa el total de la obstrucción de la integrabilidad de transporte paralelo. El argumento habitual de que resulte $"R=0"\Longrightarrow \ "M$ plano$"$ implica tener un marco arbitrario $e_{(i)}$ en algún punto de $p$ de las múltiples y paralelas transportar a cualquier otro punto. Desde el transporte paralelo es el camino independiente, el resultado es unambigous y por lo tanto tenemos un paralelo marco.

Pregunta: ¿Cómo es la segunda orden de la ruta de la independencia implícita por la desaparición del tensor de curvatura suficiente para finito de transporte paralelo para ser integrable?

Tengo una sensación de que esto podría ser trivial, pero yo soy no obstante confundido!

Answer 1

Su pregunta no es trivial y cualquier prueba de ello, que yo sepa utiliza el teorema de Frobenius que es un no-trivial resultado analítico. Permítanme darles una analogía que es en realidad un caso particular de lo que estás preguntando. Supongamos que usted tiene una sola forma $\omega$ en algunas de abrir balón $B$ $\mathbb{R}^n$ y se desea determinar una condición que garantiza que la ruta integral de $\omega$ sólo depende de los puntos finales. Comenzando con tales $\omega$, fijar un punto de $p \in B$ y definir una función potencial $f \colon B \rightarrow \mathbb{R}$ por la fórmula

$$f(x) = \int_p^x \omega$$

donde la integral se hace a través de cualquier ruta que conecta $p$$x$. Desde $f$ es una función suave, la segunda mixto derivadas parciales de $f$ deben de viajar y por cálculo, vemos que esto sucede iff $d\omega = 0$. Por lo tanto, una condición necesaria para el camino de la independencia de la integral es que $d\omega = 0$. Esta es una de primer orden en la condición de $\omega$. Sin embargo, mediante la diferenciación de nuevo podemos obtener de orden superior las condiciones en $\omega$ que son también necesarias. A priori, no está claro en absoluto que $d\omega = 0$ debería ser suficiente para obtener la ruta de la independencia, pero este es de hecho el caso, la cual es el contenido de Poincaré del lexema.

La situación con la curvatura es el mismo. Si usted tiene un rango de $k$ vector paquete de $E$ $B$ con una conexión, corregir algunos banalización $(e_1,\dots,e_k)$ y considerar la posibilidad de la conexión asociada $1$forma $\omega$ lo cual es una mentira valores de un formulario. Si el transporte paralelo es independiente de la ruta de acceso, se puede definir un "potencial" de la función $f \colon B \rightarrow \operatorname{GL}_k(\mathbb{R})$ mediante la exigencia de que

$$P_{\gamma,p,x}(e_i(p)) = f(x)_{i}^{j} e_j(x).$$

Es decir, $f(x)$ dice que la matriz es necesario "multiplicar" el marco de $(e_1(x),\dots,e_k(x))$ con el fin de obtener el transporte paralelo de la estructura $(e_1(p),\dots,e_k(p))$ $p$ $x$a lo largo de algunos (cualquier) ruta de acceso. Mediante el cálculo de la "segunda derivada" de $f$, verás que la curvatura $d\omega + \omega \wedge \omega$ debe desaparecer, y distinguiendo de nuevo, obtendrá otros, de orden superior, las condiciones necesarias en términos de $\omega$ para el camino a la independencia de que el transporte paralelo. Sin embargo, la condición de $d\omega + \omega \wedge \omega = 0$ va a ser suficiente por el teorema de Frobenius.

Si $E$ es un rango de $1$-bundle, a continuación, $\omega$ $\mathbb{R}$valores de la forma y la curvatura se convierte en$d\omega$, por lo que todo se reduce al caso anterior (y, de hecho, el lema de Poincaré se puede probar usando el teorema de Frobenius).

Answer 2

Deje $\pi:P\to M$ denotar el marco de paquete, que es una de las principales $GL(n)$-paquete de más de $M$. Una de las maneras de definir una conexión en $P$ es por una horizontal ascensor operador $$\lambda_p:T_{\pi(p)}M\to T_pP$$ for every point $p\en P$ (satisfying an equivariance condiction). In particular, we obtain a splitting $$T_pP=V_p\oplus H_p,$$ where $H_p$, the horizontal space, is the image of $\lambda_p$, and $V_p$, the vertical space, is the kernel of $d\pi_p$. The curvature of this connection can be thought of as a 2-form on $M$ whose values are vertical vector fields on $P$ given by $$R(X,Y)(p)=[\lambda_p(X),\lambda_p(Y)]-\lambda_p([X,Y]),$$ where $X,Y\in\mathcal{X}(M)$.

Si la curvatura $R$ se desvanece en un vecindario $U\subset M$, luego por el teorema de Frobenius, la distribución horizontal en $\pi^{-1}(U)$ es integrable. Esto significa que hay un local en paralelo marco, o en otras palabras, transporte paralelo en $U$ es independiente de la elección de la ruta.

Ahora todo lo que tiene que hacer es convencer a ti mismo que hay una correspondencia total entre las conexiones en el marco del paquete y la tangente paquete, y que esta correspondencia se extiende a la curvatura en ambos paquetes. Esto no es trivial, sino que se describe en muchos libros de texto.