Cómo entender la automorphism grupo de una forma muy simétrica de la gráfica de (relativa a la sylow intersecciones)

Question

Para un grupo de $G$ y de los subgrupos $H$, considerar la relación en $G$ definido $x \sim y$ si $H^x \cap H^y = 1$. Esto define una gráfica en la $G$.

Siempre es bastante simétrica: $N_G(H)$ actúa sobre la izquierda y $G$ a la derecha de la gráfica de automorfismos.

Para algunas opciones de $H\leq G$ el automorphism grupo de la gráfica es mucho (mucho) más grande.

Para $H$ un Sylow $2$-subgrupo de $G=S_5$, el gráfico resultante ha 3840 sin bordes en 120 vértices y es muy simétrica: el automorphism grupo $X$ de la gráfica tiene estructura $2.A_6.2.2^4.2.2^4.2.2^4.A_8^{15}$ y los actos de vértice, arista, y el arco-transitivamente. Tiene dos órbitas de los no-bordes. Es altamente conectados, cada par de vértices tiene al menos 32 común de los vecinos (y en el complemento gráfico, cada par de vértices tiene al menos 22 común de los vecinos). Ni ella ni su complemento es bipartito.

Mientras trabajaba en los gráficos definidos por un poco más complicado (e irrelevante) significa, me sorprendí al encontrar que casi todos los gráficos fueron distintos sindicatos de completar los gráficos. Este es el primer ejemplo de que no es en algún sentido "totalmente simétrico", pero estoy un poco abrumado por la forma de estudio.

¿Cómo se $A_8^{15}$ actuar en $S_5$?

$|G|=8\cdot 15$ $|H|=8$ pero no estoy seguro.

Qué $X$ tienen un nivel normal de subgrupo isomorfo $S_8^{15}$?

Esto explicaría el medio 2s, pero entonces, ¿qué hay con ellos agrupación en singles y cuádruples, pero el $A_8$ agrupación en un 15-tupla?

¿Cuál es el zócalo del cociente de $X$$A_8^{15}$?

Es que $S_6$ actuando en 3 copias de $2^4$? Son todos el mismo $2^4$ o algunos conjugado bajo el exterior automorphism de S6?

Answer 1

Cualquier permutación de cualquiera de los cosets $Hx$ es un automorphism de la gráfica. Así que usted puede ver inmediatamente el subgrupo $N = S_8^{15}$. No he intentado probarlo, pero parece claro que estos cosets deben formar un sistema de imprimitivity para $X$, en cuyo caso el subgrupo $N$ es en realidad normal, por lo $X = S_{15} \wr P$ donde $P$ es transitivo permutación grupo de grado 15, y desde que se ha $A_6$ como la composición del factor y el orden 720, debe ser $S_6$. (Usted puede comprobar que de los grupos transitivas de la base de datos.)

Answer 2

En progreso:

Deje $$X(G,H) = \left\{ f \in \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}\Sym(G) : H^x \cap H^y \neq 1 \iff H^{f(x)} \cap H^{f(y)} \neq 1 \right\}$$ el grupo de gráfico de automorfismos de la gráfica definida en la pregunta.

Tenga en cuenta que $\Sym\left({N_G(H)x}\right) \leq X(G,H)$ por cada $x \in G$. Esto es simplemente porque si $f \in \Sym\left({N_G(H)x}\right)$,$H^{f(x)} = H^{nx} = H^x$.

Si $T$ es un derecho transversal de $N_G(H)$$G$, entonces tenemos que el subgrupo generado por los diversos $\Sym\left({N_G(H)x}\right)$ $x \in T$ es un producto directo y un subgrupo de $X(G,H)$.

En general, no tiene que ser un subgrupo normal (tome $G$ $S_4$ $H$ a ser un Sylow 2-subgrupo, a continuación,$X(G,H)=\Sym(G)$$\Sym(8) \times \Sym(8) \times \Sym(8) \leq \Sym(24)$, pero no es normal).

Si la incrustación de $H$ $G$ es "suficientemente rica", de modo que uno puede determinar si $H^x = H$ basado en las adyacencias de $x$, $N_G(H)$ va a generar un sistema de bloques, y vamos a llegar a un subgrupo de una corona de producto.

Ahora lo que permutes esos bloques?

¿Por qué hemos de obtener la totalidad de la corona de producto?