Principio del palomar en secuencia finita

Question

Deje $a_1<a_2<\dots<a_n, \ b_1>b_2>\dots>b_n$$\{a_1, \dots,a_n, b_1,..,b_n\}=\{1,2,\dots, 2n\}$. Mostrar que $$\sum \limits_{i=1}^{n}|a_i-b_i|=n^2.$$

Este problema agradable desde la solución al problema seminario de MIT.

Sugerencia: principio del Palomar.

Sería interesante mirar la solución.

Answer 1

Aquí hay una posible prueba.

Tenga en cuenta que:

$$\forall i=1,..,n$$

$$a_i\in[1,n]\implies b_i\geq n+1$$

$$a_i\geq n+1\implies b_i\leq n$$

En efecto, supongamos que $a_i,b_i\in[1,n]$ así tenemos:

• $i$ números de $\leq a_i$
• $n-i+1$ números de $\leq b_i$

luego están:

• $i+n-i+1=n+1$ "palomas" por "n" agujeros que es una contradicción.

En una manera similar, podemos mostrar que no puede ser que $a_i,b_i\in [n+1,2n]$.

Por lo tanto:

$$\sum \limits_{i=1}^{n}|a_i-b_i|=n+1+n+2+...+2n-(1+2+...+n)=n+n+...+n=n^2\quad \square$$

Answer 2

Deje $$E =\sum \limits_{i=1}^{n}|a_i-b_i|$$

Para cada $k$ tenemos $$a_{k+1}-a_k >0 >b_{k+1}-b_k$$ por lo $$ a_{k+1}-b_{k+1}> a_k-b_k$$

Si cada una de las $a_k-b_k >0$, luego tenemos a $a_i = n+i$ $b_i = i$ por cada $i$ $E = n^2$

Si cada una de las $a_k-b_k <0$, luego tenemos a $b_i = n+i$ $a_i = i$ por cada $i$ $E = n^2$

Ahora supongamos que hay es $k$ tal que $a_i-b_i <0$ por cada $i\leq k$ $a_i-b_i > 0$ por cada $i>k$. Entonces $$\{a_1,a_2,...a_k,b_{k+1},...,b_n\}= \{1,2,...,n\}$$ and $$\{b_1,b_2,...b_k,a_{k+1},...,a_n\}= \{n+1,n+2,...,2n\}$$ so $$ E=(b_1-a_1) +...(b_k-a_k)+(a_{k+1}-b_{k+1})+...+(a_n-b_n)=n^2$$