un denso conjunto en el plano

Question

hay un denso conjunto en $\Bbb{R^2}$ que cada línea vertical u horizontal de la recta se cortan en lo finito de puntos.Creo que podemos considerar $\Bbb{Q} ×\Bbb{Q}$ pero cada línea vertical u horizontal de la línea no se cortan en lo finito de puntos.

Answer 1

Sí, podemos encontrar un ejemplo por el desplazamiento de cada punto en $\mathbb{Q}^2$ un poco.

En particular, enumerar los puntos de $\mathbb{Q}^2$ $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, ..., empleando el hecho de que $\mathbb{Q}^2$ es contable.

Ahora afirmo que el conjunto de $$S = \left\{\left(x_n + \frac{\pi}{n}, y_n + \frac{\pi}{n}\right) : n \in \mathbb{N} \right\}$$ obras. Cada línea horizontal o vertical intersecta en más de un punto de $S$. Esto se deduce del hecho de que $\pi$ es irracional.

Además, $S$ se encuentra denso en $\mathbb{R}^2$ porque $\mathbb{Q}^2$ se encuentra denso en $\mathbb{R}$: cualquier bola abierta en $\mathbb{R}^2$ contiene una infinidad de puntos de $\mathbb{Q}^2$ y por lo tanto también los puntos de $S$ (lo suficientemente grande como para $n$).

De hecho, incluso podemos encontrar un denso conjunto en el plano que no contiene tres puntos colineales. Un conjunto puede ser construido mediante la adición de los puntos uno por uno; ver Timothy Gowers del blog para una buena explicación.