Una pregunta sobre la complejidad exponencial

Question

El famoso poder de la serie de $1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots$ converge con normalidad en todo el plano complejo $\mathbb C$ y matemáticos eligió para llamar $$\exp(z):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

ahora mi pregunta es:

Por qué, donde seguro que el límite anterior no era una función racional? En pocas palabras, que asegura que no hay dos polinomios $p$ $q$ tal que $\frac{p}{q}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ ?

Answer 1

Hay varias formas de eliminar la posibilidad de una función racional, por ejemplo:

No es difícil demostrar que $\exp(z)$ tiende a infinito más rápido que cualquier potencia de $x$.

También, mirando a la función en el plano complejo, es periódico, y no es difícil demostrar que una función racional puede nunca ser periódica.

Answer 2

Una función racional tiene un límite como $z\to\infty$ (ya sea un número complejo o $\infty$). Por otro lado, $\lim_{z\to\infty}e^z$ no existe.

Diferentes razonamiento. Desde $e^z$ no tiene singularidades otros de $\infty$, si fuera racional, debe ser una (no constante) polinomio. Pero un polinomio no constante se desvanece en algún momento, mientras que $e^z\ne0$ para cualquier número complejo a $z$.

Answer 3

$$\exp(z):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

Supongamos que tenemos 2 polinomios y expresamos $e^x=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Los polinomios son $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$

$$Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$$

$(e^x)'=e^x=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)'$

Asumimos $e^x=\frac{P(x)}{Q(x)}$ Por lo tanto,

$$e^x=\frac{P(x)}{Q(x)}=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)'$$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)'=\left(\frac{P'(x)Q(x)- P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}\right)$$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P'(x)Q(x)- P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}$$

$$P(x)Q(x)=P'(x)Q(x)- P(x)Q'(x)$$

$$P(x)(Q(x)+Q'(x))=P'(x)Q(x)$$

$$P(x)(Q(x)+Q'(x))=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0)(b_mx^m+(mb_m+b_{m-1})x^{m-1}+\cdots)=a_nb_mx^{n+m}+\cdots$$

$$P'(x)Q(x)=(na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1)(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0)=na_nb_mx^{n+m-1}+\cdots$$

Como vemos $P(x)(Q(x)+Q'(x))=P'(x)Q(x)$ no pueden ser iguales porque sus grados no son iguales. El grado del polinomio $P(x)(Q(x)+Q'(x))$$m+n$, El grado de otras polinomio $P'(x)Q(x)$$m+n-1$ . Por lo tanto es imposible encontrar a $e^x=\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P(x)$ $Q(x)$ son polinomios.

Answer 4

Otro argumento que se pueden comprobar fácilmente con poder serie: $$\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\right)'=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} , que no puede ser cierto para los no-cero de funciones racionales.

Answer 5

Si una función racional de $z$ tiene un límite como $z\to-\infty$, entonces tiene el mismo límite como $z\to\infty$. Si usted puede demostrar que esta función de los enfoques $0$ $z\to-\infty$ y enfoques $\infty$$z\to\infty$, entonces usted ha demostrado que no se comporta como una función racional.