Hace un univariado variable aleatoria media siempre igual a la integral de su función cuantil?

Question

Acabo de darme cuenta de que la integración de un univariado variable aleatoria de la función cuantil (inverse cdf) a partir de p=0 p=1 produce la variable de la media. No he oído hablar de esta relación antes de ahora, por eso me pregunto: Es este siempre el caso? Si es así, es esta relación ampliamente conocido?

Aquí está un ejemplo en python:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Answer 1

Deje $F$ ser la CDF de la variable aleatoria $X$, por lo que la inversa de la CDF puede ser escrito $F^{-1}$. En su integral hacer la sustitución $p = F(x)$, $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ para obtener

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

Esto es válido para distribuciones continuas. Se debe tener cuidado para otras distribuciones, porque una inverse CDF no tiene una definición única.

Editar

Cuando la variable no es continua, no tiene una distribución que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, que requieren atención en la definición de la inversa de la CDF y la atención en el cómputo de las integrales. Consideremos, por ejemplo, el caso de una distribución discreta. Por definición, este es uno de cuyos CDF $F$ es una función de paso con pasos de tamaño $\Pr_F(x)$ a cada posible valor de $x$.

Esta figura muestra la CDF de una de Bernoulli$(2/3)$ distribución de la escala por $2$. Es decir, la variable aleatoria tiene una probabilidad $1/3$ de iguala $0$ y una probabilidad de $2/3$ de iguala $2$. Las alturas de los saltos en $0$ $2$ dar sus probabilidades. La expectativa de esta variable, evidentemente, es igual a $0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$.

Podríamos definir un "inverse CDF" $F^{-1}$ al requerir

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

Esto significa que $F^{-1}$ es también una función de paso. Para cualquier posible valor de $x$ de la variable aleatoria, $F^{-1}$ va a alcanzar el valor de $x$ a un intervalo de tiempo de longitud $\Pr_F(x)$. Por lo tanto, su integral se obtiene sumando los valores de $x\Pr_F(x)$, que es sólo la expectativa.

Esta es la gráfica de la inversa de la CDF del ejemplo anterior. Los saltos de $1/3$ $2/3$ en el CDF convertirse en líneas horizontales de estas longitudes en una altura igual a$0$$2$, los valores a cuyas probabilidades que corresponden. (La Inversa de la CDF no está definido más allá del intervalo de $[0,1]$.) Su integral es la suma de dos rectángulos, uno de altura $0$ y base $1/3$, el otro de la altura de la $2$ y base $2/3$, con un total $4/3$, como antes.

En general, para una mezcla de un continuo y una distribución discreta, necesitamos definir la inversa de la CDF en paralelo de esta construcción: en cada salto de altura$p$, se debe formar una línea horizontal de longitud $p$ dado por la fórmula anterior.

Answer 2

Un resultado equivalente es bien conocido en el análisis de supervivencia: el tiempo de vida esperado es $$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ where the survival function is $S(t) = \Pr(T \gt t)$ measured from birth at $t=0$. (It can easily be extended to cover negative values of $t$.)

Por lo que podemos reescribir esto como $$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ but this is $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$ como se muestra en diversas reflexiones de la zona en cuestión

Answer 3

Para cualquier valor real variable aleatoria $X$ con cdf $F$ es bien sabido que el $F^{-1}(U)$ tiene el mismo derecho que $X$ al $U$ es uniforme en $(0,1)$. Por lo tanto, la expectativa de $X$, cuando existe, es la misma que la expectativa de $F^{-1}(U)$: $$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ La representación $X \sim F^{-1}(U)$ mantiene un general cdf $F$, teniendo en $F^{-1}$ a la izquierda continua inversa de a$F$, en el caso de $F$ no es invertible.

Answer 4

Estamos evaluando:

Vamos a probar con un simple cambio de variable:

Y nos damos cuenta de que, por definición de PDF y CDF:

en casi todas partes. Así tenemos, por definición de valor esperado: