Ser segundo contable es invariante bajo un mapeo perfecto

Question

En primer lugar, daré la definición de mapeo perfecto:

Permita que$f$ sea un mapeo cerrado desde un espacio topológico$X$ a otro espacio topológico$Y$. Lo llamamos un mapeo perfecto si para cada punto$y \in Y$, el subespacio$f^{-1}(y)$ de$X$ es compacto.

Mi pregunta es la siguiente: si$X$ tiene una base contable, es decir,$\mathcal W(X) = \omega$ y$f$ es una asignación perfecta de$X$ a$Y$, cómo mostrar eso $Y$ también tiene una base contable?

Gracias a continuación :)

Answer 1

Voy a copiar aquí una prueba más generales, el resultado de la libreta de Engelking, Ryszard (1989): Topología General. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3885380064.

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Teorema de la 3.7.19. Si no existe una perfecta asignación de $f \colon X \to Y$ en un espacio de $Y$,$w(Y) < w(X)$.

Aquí $w(X)$ es el peso de un espacio topológico, es decir, $$w(X)= \min \{|\mathcal B|; \text{$\mathcal B$ is a base for $X$}\}+\aleph_0.$$

Prueba. Deje $w(X) = \mathfrak m$. Dado que la validez de nuestro teorema es obvio para $\mathfrak m < \aleph_0$, se se puede suponer que $\mathfrak m \ge \aleph_0$. Deje $\{U_s\}_{s\in S}$ ser una base para $X$ tal que $|S| = \mathfrak m$ y deje $\mathcal T$ ser el la familia de todos los subconjuntos finitos de $S$. Desde $|\mathcal T| = \mathfrak m$ es suficiente para mostrar que la familia $\{W_T\}_{T\in\mathcal{T}}$, donde $W_T = Y \setminus f(X \setminus \bigcup_{s\in T} U_s)$, es una base para $Y$. Se desprende de la definición que el conjuntos de $W_T$ están abiertos. Tomemos un punto de $y \in Y$ y un barrio de $W \subset Y$$y$. El inversa de la imagen $f^{-1}(y)$ es un subconjunto compacto de $f^{-1}(W)$; por lo tanto existe un $T \in \mathcal T$ tal que $f^{-1}(y)\subset \bigcup_{s\in T} U_s \subset f^{-1}(W)$. Claramente $y \in W_T$, y desde $$Y\setminus W = f(X\setminus f^{-1}(W)) \subset f(X\setminus \bigcup_{s\in T} U_s)$$ tenemos $W_T\subseteq W$.

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El de arriba es tomado textualmente de Engelking del libro. Pero en el lugar donde escribe:$w(X)<\aleph_0$, probablemente quiere decir $|S|<\aleph_0$. (Desde $w(X)$ es infinito por definición).

Si un espacio topológico tiene un número finito de base, entonces la topología es finito. El mapa de $f$ es el cociente, ya que cada surjective cerrado mapa es el cociente. Esto significa que para cada conjunto abierto $U\subseteq Y$ la preimagen $f^{-1} (U)$ está abierto. La asignación de $U\mapsto f^{-1}(U)$ es una inyección de la topología de $Y$ a la topología de la $X$. Por lo tanto $Y$ tiene, en este caso, sólo un número finito de abiertos conjuntos. (Y por lo tanto se ha finito base).