De acuerdo a wikipedia, el giro de cambio de operador puede ser expresado como $$P = \frac{1}{2}\big(1+\vec{\sigma}_1\cdot \vec{\sigma}_2 \big) $$ Yo no estoy seguro de entender lo que esto significa. Creo que la tirada de intercambio debe tener la propiedad $$ \frac{1}{2}\big(1+\vec{\sigma}_1\cdot \vec{\sigma}_2 \big)\mid \uparrow\downarrow\rangle = \mid \downarrow\uparrow\rangle,$$ pero estoy teniendo problemas para entender cómo el operador $\vec{\sigma}_1\cdot \vec{\sigma}_2$ actos, y de cómo se llega a tener este tipo de comportamiento. Yo también estoy teniendo problemas para conseguir alguna intuición sobre cómo y por qué este operador tiene esta forma. Puede alguien explicar cómo la forma de $P$ debe actuar en un determinado arbitraria de estado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto simplemente puede ser comprobada directamente. Tenemos $$ \vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2 = \sigma_{1}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} + \sigma_{1z}\sigma_{2z}, $$ y podemos utilizar la convención $$ \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\ \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\ \text{y}\ \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} $$ en el$\{\left|↑↑\right\rangle, \left|↑↓\right\rangle, \left|↓↑\right\rangle, \left|↓↓\right\rangle\}$. Aquí \begin{align} \left(1+\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2\right)\left|↑↑\right\rangle & = \left(1+\sigma_{1x}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} + \sigma_{1z}\sigma_{2z}\right)\left|↑↑\right\rangle \\& = \left|↑↑\right\rangle+\left|↓↓\right\rangle + i^2\left|↓↓\right\rangle + \left|↑↑\right\rangle \\& = 2\left|↑↑\right\rangle, \end{align}
\begin{align} \left(1+\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2\right)\left|↑↓\right\rangle & = \left(1+\sigma_{1x}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} + \sigma_{1z}\sigma_{2z}\right)\left|↑↓\right\rangle \\& = \left|↑↓\right\rangle+\left|↓↑\right\rangle + i(-i)\left|↓↑\right\rangle + (-1)\left|↑↓\right\rangle \\& = 2\left|↓↑\right\rangle, \end{align}
\begin{align} \left(1+\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2\right)\left|↓↑\right\rangle & = \left(1+\sigma_{1x}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} + \sigma_{1z}\sigma_{2z}\right)\left|↓↑\right\rangle \\& = \left|↓↑\right\rangle+\left|↑↓\right\rangle + i(-i)\left|↑↓\right\rangle + (-1)\left|↓↑\right\rangle \\& = 2\left|↑↓\right\rangle, \quad \text{and} \end{align}
\begin{align} \left(1+\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2\right)\left|↓↓\right\rangle & = \left(1+\sigma_{1x}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} + \sigma_{1z}\sigma_{2z}\right)\left|↓↓\right\rangle \\& = \left|↓↓\right\rangle+\left|↑↑\right\rangle + (-i)^2\left|↑↑\right\rangle + (-1)^2\left|↓↓\right\rangle \\& = 2\left|↓↓\right\rangle. \end{align}
Desde $\left(1+\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2\right)$ coincide con $2P$ sobre una base, que debe coincidir en todas partes. Por otra parte, los cálculos anteriores debe dar un buen sabor de cómo $\left(1+ \vec\sigma_1 \cdot \vec\sigma_2 \right)$ debe ser utilizado en un estado general.
La esencia de la operadora, sin embargo, puede ser destilado a un par de principios que son visibles en la acción anterior. En particular,
$\frac12\left(1+\sigma_{1z}\sigma_{2z}\right)$ se desvanece en la cruz de los estados, $\left|↑↓\right\rangle$$\left|↓↑\right\rangle$, debido a que el segundo término simplemente recoge una menos, y actúa como la identidad sobre el simétrico de los estados $\left|↑↑\right\rangle$ $\left|↓↓\right\rangle$ desde al menos en $\left|↓↓\right\rangle$ viene dos veces y por lo tanto desaparece.
$\frac12\left(\sigma_{1x}\sigma_{2x} + \sigma_{1y}\sigma_{2y} \right)$, por otro lado, se desvanece en el simétrica de los estados, $\left|↑↑\right\rangle$$\left|↓↓\right\rangle$, debido a que tanto los operadores de flip ambas tiradas sino que lo hacen con fase opuesta, por lo que se cancelan.
En la tapa de los estados, sin embargo, $\left|↑↓\right\rangle$$\left|↓↑\right\rangle$, tanto de los operadores individuales, $\sigma_{1x}\sigma_{2x}$$\sigma_{1y}\sigma_{2y}$, mucho actuar de la misma: flip ambos espines, que es equivalente a cambio, y que lo hacen con un plano de fase de la plana fuera de las diagonales de $\sigma_x$ o el producto de los dos opuestos fuera de las diagonales de $\sigma_y$,
