$p \mid x^2 +n\cdot y^2$ y $\gcd(x,y)=1 \Longleftrightarrow (-n/p) = 1$

Question

Sea $n$ un entero no nulo, sea $p$ un primo impar que no divide a $n$. entonces $ p \mid x^2 + n\cdot y^2$ y $x,y$ coprimos $ \Longleftrightarrow(-n/p) = 1 $

¿Cómo puedo demostrar esto? con $(-n/p)$ me refiero al símbolo de Legendre.

Para $\implies$ ya he intentado lo siguiente:

$ p \mid x^2 +n\cdot y^2$, entonces $x^2 + n\cdot y^2 = 0$ mod $p$. entonces $x^2 = -n\cdot y^2\mod p$...

Así que con un poco de ayuda de mis amigos, esta parte está hecha.

Ahora, ¿cómo mostrar la otra implicación?

Saludos Egon

Answer 1

Pista: Tenemos $x^2\equiv -ny^2\pmod{p}$. Multiplica ambos lados por $z^2$, donde $z$ es el inverso multiplicativo de $y.

Detalle: Necesitamos tener cuidado con la afirmación del teorema. Por lo tanto, dividimos la afirmación y la prueba en dos partes. Al hacerlo, descubriremos que el resultado está formulado de manera algo informal.

(i) Supongamos que $(-n/p)=1$. Entonces existen enteros relativamente primos $x$ e $y$ tales que $p$ divide a $x^2+ny^2$.

Prueba de (i): Dado que $(-n/p)=1$, por parte de la definición de residuo cuadrático, $n$ no es divisible por $p$. Además, existe un entero $x$ tal que $x^2\equiv -n\pmod{p}$. Entonces $x^2+n$ es divisible por $p, y por lo tanto $x^2+ny^2$ es divisible por $p, con $y=1$. Nota que $x$ e $y$ son primos relativos.

(ii) Supongamos que existen enteros relativamente primos $x$ e $y$ tales que $x^2+ny^2$ es divisible por $p$ y $\gcd(x,y)=1$. Esto no es suficiente para mostrar que $(-n/p)=1$. Por ejemplo, sea $n=3$, $x=3$ e $y=1$. Por lo tanto, debemos asumir además que $n$ no es divisible por $p$. Demostramos el resultado deseado, con la modificación de agregar la condición de que $n$ no es divisible por $p.

Prueba de (ii): Nota que $y$ no puede ser divisible por $p$. Si lo fuera, a partir de $p$ divide a $x^2+ny^2$ concluimos que $p$ divide a $x^2$. Entonces $p$ divide a $x$, contradiciendo el hecho de que $x$ e $y$ son primos relativos.

Dado que $y$ no es divisible por $p, tiene un inverso multiplicativo módulo $p$. Es decir, hay un $z$ tal que $zy\equiv 1\pmod{p}$. Entonces $x^2z^2+ny^2z^2\equiv 0\pmod{p}$. Por lo tanto, $(xz)^2\equiv -n\pmod{p}$, y el resultado sigue.

Observación: El teorema realmente debería formularse de esta manera. Sea $p$ un primo impar, y supongamos que (el entero) $n$ no es divisible por $p$. Entonces $(-n/p)=1$ si y solo si existen enteros relativamente primos $x$ e $y$ tales que $x^2+ny^2$ es divisible por $p.