Existencia de una función continua $f$ en $\Bbb R$ que desaparece exactamente en $A\subset \Bbb R$

Question

Pregunta Para cualquier subconjunto cerrado $A \subset \Bbb R$ ¿existe una función continua $f$ en $\Bbb R$ que desaparece exactamente en $A$ ?

Si tomamos $A=[a,\infty)$ o $(-\infty,a]$ o $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ o $\bigcup_{i=1}^{k} [a_i,b_i]$ , entonces sí podemos tener una función continua de este tipo. Pero cuando pensé en el conjunto cantor o en el conjunto $\{\frac 1n : n \in \Bbb N\} \cup \{0\}$ que se cierran en $\Bbb R$ No he podido pensar en un mapa continuo que desaparezca exactamente en estos dos conjuntos.

¿Cómo debo solucionar este problema?

Answer 1

Sí, existe algo más que la continuidad ya que A es cerrado , solo toma $$x\mapsto f(x) =\color{blue}{d(x,A) =\inf\{|x-y|: y\in A\}~~~~\text{Which is even Lipschitz function }}$$ Como sabemos que $$d(x,B)= 0\Longleftrightarrow x\in\bar B$$

Se sigue de la desigualdad triangular que:

$$\color{red}{|f(x)-f(y)|\le |x-y|}$$

También ver esto: desde aquí Es posible escribir subconjuntos abiertos de la forma $\Omega=\{x\in \mathbb{R}^N:g(x)>0 \}$