La convergencia de $\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{3}{2n² -1}$

Question

Qué $$\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{3}{2n² -1}$$

convergen?

Hice lo siguiente:

$$\frac{3}{2n²-1} = \frac{3}{2n²}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2n²}}\right)$$

y debido a que $$\frac{1}{1-\frac{1}{2n²}} \to 1$$

la secuencia es acotado, y por lo tanto, no existe $M \in \mathbb{R}^{+}$

de tal forma que:

$$\left|\frac{1}{1-\frac{1}{2n²}}\right| = \frac{1}{1-\frac{1}{2n²}} < M$$

Por lo tanto:

$$\frac{3}{2n²-1} < \frac{3M}{2n²}$$

y debido a que $\sum n^{-2}$ converge, por la prueba de comparación se deduce que la secuencia dada converge.

Es esto correcto? Hay un enfoque más sencillo?

Gracias de antemano.

Answer 1

La serie es absolutamente convergente en comparación con $\sum_{n\geq 1}\frac{3}{n^2}=\frac{\pi^2}{2}$, por ejemplo.
También puede calcular en una forma explícita. Si empezamos con $$ \frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right) $$ y se aplican $\frac{d}{dz}\log(\cdot)$ a ambos lados, obtenemos $$-\frac{1}{z}+\pi\cot(\pi z) =\sum_{n\geq 1}\frac{2z}{z^2-n^2} $$ y mediante la evaluación de los dos lados, a $z=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $$ 1-\frac{\pi}{\sqrt{2}}\,\cot\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2-\frac{1}{2}} $$ así: $$\boxed{ \sum_{n\geq 1}\frac{3}{2n^2-1} = \color{red}{\frac{3}{2}-\frac{3\pi}{2\sqrt{2}}\,\cot\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)}\approx 4.036518.} $$

Answer 2

¿ $$ \frac{3}{2n^2-1} \leq \frac{3}{n^2} $$ para todos los $n \geq 1$.

Answer 3

Recuerde término de mayor grado del polinomio domina todo polinomio Así,2$n^{2}$-1~$2n^{2}$..se puede utilizar el límite de la prueba de comparación de ahora..