Es allí cualquier comprensión intuitiva de subgrupo normal?

Question

Como la definen va:

Un subgrupo $N$ de un grupo de $G$ se llama un subgrupo normal si es invariante bajo la conjugación; es decir, para cada elemento $n$ $N$ y cada una de las $g$$G$, el elemento $gng^{−1}$ está todavía en $N$.

Mi Pregunta es: ¿alguien Puede darme una explicación intuitiva o un ejemplo de este concepto? Por qué es muy importante en el álgebra?

Answer 1

Vamos a echar un vistazo en el grupo de rotaciones del cubo. Tiene un subgrupo de las rotaciones alrededor de un eje vertical. Este subgrupo (vamos a llamar a $A1$) tiene 4 elementos: girar el cubo de 0, 90, 180 o 270 grados.

Hay otro subgrupo: rotación alrededor de uno de los ejes horizontales. Vamos a llamar a $A2$.

Subgrupos $A1$ $A2$ son obviamente diferentes. Pero todavía se ven muy parecidos! Si había alguien mirando el cubo desde un ángulo diferente que incluso podría no entender mis descripciones de $A1$ $A2$ "correctamente" y confundir a $A1$$A2$.

Esto es debido a que $A1$ $A2$ son conjugados. El $g x g^{−1}$ realmente significa "mirar a $x$ desde otro punto de vista", y $g$ define este "punto de vista".

Subgrupo es normal si es muy "simétrico". No importa desde qué punto se mira en el grupo total $G$ el subgrupo $N$ permanece en el lugar.

Answer 2

Los cocientes de grupos sólo están bien definidos, si tomamos el cociente más de un subgrupo normal. Otra manera de escribir su definición es que el $N$ es normal iff $gN = Ng$, por lo que el conjunto de la izquierda cosets es igual al conjunto de la derecha cosets, lo que hace que el cociente grupo $G/N$ bien definido. Que es, en mi opinión, la razón fundamental para estar interesado en ellos. De lo contrario, normal subgrupos siguen apareciendo, literalmente, en todas partes en la teoría de grupos. Por ejemplo, cuando nos fijamos en la solución de los grupos (teoría de Galois), son importantes.

Answer 3

Una congruencia en un grupo de $G$ es una relación de equivalencia $\equiv$ $G$ que es compatible con la operación de $G$: $$ un \equiv b, \ '\equiv b' \implica aa '\equiv bb' $$ El cociente $\overline G = G\,/\equiv$ es entonces un grupo.

Es fácil probar que, al $\equiv$ es una congruencia en $G$, la clase de equivalencia de a $1$ es un subgrupo normal $N$ $G$ y las clases de equivalencia son los cosets de $N$.

Por el contrario, si $N$ es un subgrupo normal de $G$, entonces la relación definida por $a \equiv b$ si $a^{-1}b \in N$ es una congruencia relación en $G$ cuyas clases de equivalencia son los cosets de $N$.

Así, normal subgrupos son objetos naturales cuando se considere la posibilidad de congruencias. El equivalente de las caracterizaciones de la normalidad, como $aN=Na$ y la invariancia bajo la conjugación, seguir fácilmente.