Encontrar todos los locales de extremums de $f(x)=x^{2}e^{-x}$ y decidir si estos son globales extremums

Question

Como todas mis otras preguntas, esa no es la tarea (es la preparación para un examen).

Me gustaría saber si hice todo correctamente. En mi tarea anterior, había un error en la primera derivación. Pero para esta tarea, creo que todo está bien.

Encontrar todos los locales de extremums de la siguiente función y decidir si estos son globales extremums (es decir, maxima o en lugar de los mínimos de la función en toda su dominio) o no:

$f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^{2}e^{-x} \in \mathbb{R}$

He empezado por la comprobación del comportamiento de $f$ hacia $+- \infty$ ver más claro / ver en lo absoluto si el extremums son locales o globales. Y para encontrar el límite, he tenido que utilizar L'Hôpitals regla dos veces (no se muestra mantenerlo corto).

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty$$

Esto ya me dice que en la izquierda (negativo) del sistema de coordenadas, no será infinitamente extremums. $\Rightarrow$ La función no puede tener ningún global extremums.

Ahora derivado $f$ y calcular el extremo:

$$f'(x)=e^{-x}(2x-x^{2})$$

$\Rightarrow$

$$f'(x)=0$$

$$0=\frac{1}{e^x}(2x-x^{2})$$

$$0=2x-x^{2}$$

$$x^{2}=2x$$

$$x=2$$

Ahora uso el $2^{nd}$ derivación para comprobar si este es un máximo o mínimo. Es un máximo local en el punto de $P(2|\frac{4}{e^{2}})$.

Answer 1

Ya casi están a la derecha. Pero en el $0=2x-x^{2}$ paso, no se puede concluir que $x=2$. De hecho, $0=2x-x^{2}=x(2-x)\implies x=0,2$. Por lo tanto, usted debe también comprobar $x=0$.

Answer 2

Desde su penúltima línea también debe deducir que $x=0$ que da el mínimo de cero

Answer 3

Su primera conclusión de que "Esto ya me dice que en la izquierda (negativo) del sistema de coordenadas, no será infinitamente extremums." está mal, en general. Un simple contador-ejemplo es $f(x)=e^{-x}$ que posee de los límites mencionados en la pregunta, pero no tiene infinitamente extrema.

Por otra parte, en la segunda derivación, se olvidó de $x=0$, lo que le dará la mínima al calcular la segunda derivada.