Infinita Suma de números positivos es? Infinito?

Question

Yo estaba pensando en lo siguiente: una suma de Un número infinito de valores, no importa cómo es grande, pero positiva es igual a infinito.

Y entonces descubrí la siguiente fila:

$\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2^{n}})$

Esto es: $ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...$

Cuando empecé a calcular con una aplicación de Java, creo que nunca se llegue a $2$. Echa un vistazo a la salida de mi aplicación: (use la barra de desplazamiento, cumplo los números)

1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001: 1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002: 1.5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004: 1.7500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000008: 1.8750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000016: 1.9375000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000032: 1.9687500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000064: 1.9843750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000128: 1.9921875000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000256: 1.9960937500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000512: 1.9980468750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001024: 1.9990234375000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
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1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000008192: 1.9998779296875000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000016384: 1.9999389648437500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000032768: 1.9999694824218750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000065536: 1.9999847412109375000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000131072: 1.9999923706054687500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000262144: 1.9999961853027343750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000524288: 1.9999980926513671875000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001048576: 1.9999990463256835937500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
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... un poco más en la salida:

1/00003618502788666131106986593281521497120414687020801267626233049500247285301248: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999997236426062369777719876367
1/00007237005577332262213973186563042994240829374041602535252466099000494570602496: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998618213031184888859938183
1/00014474011154664524427946373126085988481658748083205070504932198000989141204992: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999309106515592444429969091
1/00028948022309329048855892746252171976963317496166410141009864396001978282409984: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999654553257796222214984545
1/00057896044618658097711785492504343953926634992332820282019728792003956564819968: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999827276628898111107492272
1/00115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999913638314449055553746136
1/00231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168015826259279872: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999956819157224527776873068
1/00463168356949264781694283940034751631413079938662562256157830336031652518559744: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999978409578612263888436534
1/00926336713898529563388567880069503262826159877325124512315660672063305037119488: 1.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999989204789306131944218267

Antes de los dos puntos, puedo imprimir la última fracción que se agrega a la suma y después de los dos puntos, tengo la actual suma.

Así que, ¿significa esto que mi primera declaración no es correcta?

Answer 1

Sí, su primera declaración fue incorrecta. Mientras los valores positivos $a_n$ se suma a disminuir a 0 lo suficientemente rápido, la suma de $\sum_{n=0}^\infty a_n$ será finito aunque hay infinitamente muchas de las $a_n$'s. Sin embargo, la cuestión de lo "suficientemente rápido" exactamente significa que es una sutil; por ejemplo $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\text{ diverges (i.e., " = $\infty$")}$$ por lo $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$... no vaya a 0 lo suficientemente rápido. La serie puede ser determinado a converger (es decir, igual a un valor finito) o divergen (es decir, ser arbitrariamente grande, que metafóricamente es como la suma infinita) mediante la convergencia de las pruebas.

La cosa a recordar sobre el infinito de la serie es que son solo un determinado tipo de límite. La definición de la suma infinita $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ es $$\lim_{N\rightarrow\infty}\,\,\,\,\sum_{n=1}^N a_n$$ Algebraicamente, es decir, únicamente con la operación "$+$", no hay tal cosa como una suma infinita. La suma infinita sólo puede ser definida usando un límite. ¿Por qué es esto importante?

Los límites pueden ser diferentes de los números que usted está tomando el límite de. Por ejemplo, el límite de la secuencia de $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\ldots,\frac{2^n-1}{2^n},\ldots$ es de 1, pese a que ninguna de las entradas de la secuencia son iguales a 1.

Así, el hecho de que ninguna de las sumas parciales de $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}$, es decir, los términos de $\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n}$ en lo que realmente estamos tomando el límite de, son iguales a 2, no impide que la suma infinita (es decir, el límite de las sumas parciales) de la 2.

También, pensando en infinitas sumas de los límites explica por qué tenemos problemas con ellos que no teníamos cuando se habla de finito de sumas. Por ejemplo, la suma infinita $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 -1 +1 -1 + \cdots $$ no existe, porque (usando la definición apropiada) $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = \lim_{N\rightarrow\infty} \quad\sum_{n=0}^N (-1)^n = \lim_{N\rightarrow\infty} (\text{1 if $N$ even, 0 if $N$ odd})$$ y el límite de esta oscilación de la secuencia no existe.

Answer 2

Su declaración no es correcta. Estaba a punto de escribir una elaborada respuesta, cuando me di cuenta que usted debe leer http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series en cualquier caso.

La suma de $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty a^i$ donde $|a| < 1$ converge a $\frac{1}{1-a}$. Esto se desprende de la identidad $$(1+a+ a^2 + \ldots + a^n)(1-a) = 1 - a^{n+1}.$$