Anillo de cocientes de enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)$ cuando $a$ y $b$ NO son coprimas

Question

El isomorfismo $\mathbb{Z}[i]/(a+bi) \cong \Bbb Z/(a^2+b^2)\Bbb Z$ es conocido cuando los enteros $a$ y $b$ son coprimos. Pero ¿qué ocurre cuando son no coprima, digamos $(a,b)=d>1$ ?

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- Por ejemplo, si $p$ es primo (que no es coprimo con $0$ ) entonces $$\mathbb{Z}[i]/(p) \cong \mathbb{F}_p[X]/(X^2+1) \cong \begin{cases} \mathbb{F}_{p^2} &\text{if } p \equiv 3 \pmod 4\\ \mathbb{F}_{p} \times \mathbb{F}_{p} &\text{if } p \equiv 1 \pmod 4 \end{cases}$$ (porque $-1$ es un cuadrado mod $p$ si $(-1)^{(p-1)/2}=1$ ).

- En general, si $n=p_1^{r_1} \cdots p_m^{r_m} \in \Bbb N$ entonces cada par de enteros $p_j^{r_j}$ son coprimos, por lo que por CRT obtenemos $$\mathbb{Z}[i]/(n) \cong \mathbb{Z}[i]/(p_1^{r_1}) \times \cdots \times \mathbb{Z}[i]/(p_m^{r_m})$$

No estaba seguro de cómo encontrar la estructura de $\mathbb{Z}[i]/(p^{r}) \cong (\Bbb Z/p^r \Bbb Z)[X] \,/\, (X^2+1)$ cuando $p$ es primo y $r>1$ .

- De manera más general, para determinar la estructura de $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)$ con $a+bi=d(x+iy)$ y $(x,y)=1$ podríamos intentar utilizar el CRT, siempre que $d$ es coprima con $x+iy$ en $\Bbb Z[i]$ . Pero esto no siempre es cierto: para $d=13$ y $x+iy=2+3i$ no podemos encontrar los enteros de Gauss $u$ y $v$ tal que $du + (x+iy)v=1$ porque esto significaría que $(2+3i)[(2-3i)u+v]=1$ es decir $2+3i$ es una unidad en $\Bbb Z[i]$ que no lo es porque su norma es $13 \neq ±1$ .

- No pude ir más allá. Recuerdo que mi pregunta general es saber qué $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)$ es isomorfo a cuando $a$ y $b$ son números enteros que son no coprima (por ejemplo $a=p^r,b=0$ o $d=(a,b) = a^2+b^2>1$ ).

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Lo mejor es recordar que $\mathbb{Z}[i]$ es un PID (Principal Ideal Domain), que es de hecho un dominio euclidiano con respecto a su norma habitual.

Una vez que te des cuenta de esto, te darás cuenta de que tu enfoque usando el Teorema Chino del Resto es el correcto. El único problema es que estás factorizando sobre $\mathbb{Z}$ en lugar de eso, que sobre $\mathbb{Z}[i]$ . De esta manera, toma $z\in\mathbb{Z}[i]$ , factor sobre $\mathbb{Z}[i]$ como $\prod q_k^{r_k}$ y obtendrá por la CRT que $$\mathbb{Z}[i]/(z)\cong \prod_k\mathbb{Z}[i]/(q_k^{r_k})$$ Por ejemplo, en su ejemplo con $13(2+3i)$ escríbalo como $(2+3i)^2(2-3i)$ y así se obtiene $$\mathbb{Z}[i]/(13(2+3i))\cong \mathbb{Z}[i]/(2+3i)^2\times \mathbb{Z}[i]/(2-3i)$$

Ahora, el único problema es estudiar cuáles son los primos de $\mathbb{Z}[i]$ y determinar la estructura de $\mathbb{Z}[i]/(q^r)$ para $q$ primo en $\mathbb{Z}[i]$ . La primera pregunta se puede responder utilizando el hecho de que $z$ es primo en $\mathbb{Z}[i]$ si $\mathbb{Z}[i]/(z)$ es un campo (se ha trabajado qué primos de $\mathbb{Z}$ son primos de $\mathbb{Z}[i]$ sin darse cuenta y te dejo la prueba), así obtenemos:

Los primos de $\mathbb{Z}[i]$ son de la forma:

1. $(1+i)$ . Hasta la multiplicación por unidades, $1+i$ es el único primo asociado a $2$ .
2. $p\in \mathbb{Z}$ número entero primo con $p \equiv 3$ (mod 4). Hasta la multiplicación por unidades, $p$ es el único primo de esta forma para un primo entero dado $p \equiv 3$ (mod 4).
3. $q=(x+iy)\in\mathbb{Z}[i]$ con $q\overline{q}$ entero primo. Hasta la multiplicación por unidades, $q$ y $\overline{q}=(x-iy)$ son los únicos primos de esta forma para un primo entero dado $q\overline{q}\equiv 1$ (mod 4).

Una vez conocido esto, hay que determinar la estructura de $\mathbb{Z}[i]/(q^n)$ para cada uno de estos primos. Sólo tenemos que distinguir tres casos (sólo utilizamos los teoremas de isomorfismo):

1. $q=1+i$ . Cuando $r=2s$ es par, reducimos a $$\mathbb{Z}/(2^s)[X]/(X^2+1)$$ que se puede realizar como la matriz subálgebra de $M_2(\mathbb{Z}/(2^s))$ dado por $$\mathbb{Z}/(2^s)\left[\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\right]$$ Tenga en cuenta que para $s=1$ Esto es sólo $\mathbb{Z}/(4)$ . Cuando $r=2s-1$ es impar, reducimos a $$\mathbb{Z}/(2^s)[X]/(X^2+1,2^{s-1}(X+1))$$ que la mejor realización que se me ocurre es un cociente del subálgebra de $M_2(\mathbb{Z}/(2^s))$ $$\mathbb{Z}/(2^s)\left[\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}\right]$$ por el ideal generado por $$\begin{pmatrix}2^{s-1}&2^{s-1}\\2^{s-1}&2^{s-1}\end{pmatrix}$$

2. $q=p$ es un primo entero. Entonces, como usted ha señalado, reducimos a $$\mathbb{Z}/(p^r)[X]/(X^2+1)$$ Se puede obtener una realización concreta considerando la subálgebra matricial de $M_2(\mathbb{Z}/(p^r))$ dado por $$\mathbb{Z}/(p^r)\left[\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\right]$$

3. $q=a+bi$ no es un primo entero. En este caso, hay que tener en cuenta que para $(a+bi)^n=a_n+b_ni$ , $a_n$ y $b_n$ debe ser coprima porque de lo contrario sería divisible por un primo no equivalente a $a+bi$ violando la factorización única. Por lo tanto, $$\mathbb{Z}[i]/(q^r)\cong \mathbb{Z}/((q\overline{q})^r)$$ en este caso por su resultado citado.

Esto resuelve la cuestión en general y de forma totalmente satisfactoria en muchos casos. En su ejemplo considerado, obtenemos $\mathbb{Z}/(13)\times \mathbb{Z}/(13^2)$ . Sin embargo, tal vez haya mejores presentaciones para algunos de los casos anteriores. En cualquier caso, la estrategia que doy funciona para cualquier PID.