Haciendo la conexión entre la teoría de gauge y haces de fibras precisa

Question

Cuando la gente habla acerca de la teoría de gauge y haces de fibras, sobre todo lo que se habla es simplemente el grupo y la conexión que se pone en el principal paquete. Pero el principal paquete tiene un delicado definición y estructura y por qué tengo que mencionar el principal paquete a todos los de la física punto de vista no es evidente para mí.

Así que si elijo un grupo gauge $G$, uno debe convencer a mí de que este hecho proviene de un director G paquete. En el principal paquete que tengo a la actuación del grupo en el espacio total y fibras que son isomorfo a G.

1. Parece natural que la base del colector es el espacio-tiempo, pero no es claro para mí lo que el mapa de proyección en realidad es.
2. Localmente espero que el G-lote a ser un producto Cartesiano de algún conjunto abierto y una fibra con la acción del grupo gauge en la fibra, pero no sé lo que las fibras son de la física punto de vista.
3. Debe haber también mapas de transición que son continuos los mapas a partir de la intersección de abrir establece sobre la base del colector a la estructura de grupo que es el grupo $G$, ¿cómo se puede construir a partir de la física de punto de vista?
4. De la física tengo el medidor de grupo y el de Lagrange con el grupo gauge que actúan en los campos. Pero parece natural para mí, una vez que tenemos el medidor de grupo que actúa en los campos a continuación y es más natural hablar de asociado un paquete. Así que tengo algunas representación del grupo que actúa sobre un espacio vectorial. En este punto parece que con el fin de hacer la conexión entre la geometría diferencial y la teoría de gauge preciso que al menos tiene que tener asociado un paquete y un director de paquete.

Supongo que mi punto es que me gustaría avanzar más allá de palabras y frases, pero me parece que no puede poner todas las piezas juntas perfectamente. Hay mucho más a los principales paquetes de los elementos del grupo gauge y la conexión se puede poner en los paquetes, sino que es toda la gente parecen hablar.

Nota: puede ser claro con lo que quiero decir por el punto de vista físico. Así que permítanme dar un ejemplo donde la puedo hacer la imagen un poco más claro. Tome un clásico libre de partículas con spin. Tiene el espacio de configuración $ \mathbf{R}^3 \times SU(2) $ . El Lagrangiano $L =\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + i\lambda Tr(s^{-1}\dot{s}) $ donde$s\in SU(2) $$S_i \sigma_i = s\sigma_3s^{-1}$. También tenemos la restricción $S_i^2=\lambda^2 $. Si nos concentramos en la vuelta de los grados de libertad que tiene el haz de fibras que resulta ser un paquete de hopf. El espacio total está dada por los campos en $SU(2)$, el grupo gauge es $U(1)$ y para llegar a la base del colector nos damos cuenta de la restricción $S_i^2 = \lambda $ nos da una esfera. Aquí las fibras provienen de los campos en el Lagrangiano, el grupo gauge es $U(1)$ de la base del colector está dada por la restricción en la vuelta grados de libertad. La estructura local es $S^2 \times U(1) $. A partir de este ejemplo, observe cómo la física que limita y determina la estructura matemática que puedo. El calibre del grupo proviene de la de Lagrange, el espacio total proviene de los campos en el Lagrangiano de la base y el colector viene de la restricción en los campos. No estoy hablando simplemente de $U(1)$

Answer 1

Después de un poco de pensamiento, tengo que llegar a algún tipo de entendimiento que espero que les sean útiles en la toma de las ideas un poco más preciso. En cuanto a calibre, las teorías de los físicos comienzan con un Lagrangiano $ \mathcal{L}[\phi,\dot{\phi}] $. El reclamo es que esta $ \mathcal{L} $ es invariante bajo la acción de algún grupo. Lo que es un poco complicado, es que para hacer esta declaración un poco más preciso requiere que tenemos dos haces de fibras a la vez, es decir, el capital-$G$ paquete y su correspondiente vector paquete. Voy a tratar de describir las cosas de tal manera que la estructura matemática surge en lugar de simplemente proporcionar un diccionario.

1.Para cada parche de espacio-tiempo,$\mathcal{U}_i$ donde $\mathcal{M}$ es la base del colector de escoger un mapa $S: \mathcal{U}_i \rightarrow G $ $(\textit{this will later be the gauge group})$. A continuación, recogemos una cierta representación del grupo i.e $\rho: G \rightarrow V $ donde $V$ es un espacio vectorial. Podemos ahora definir lo que luego será una sección de $ \psi: \mathcal{U}_i \rightarrow [x, \phi] $ donde $x$ es un punto en el colector. La invariancia Gauge significa que $[x,\phi] \sim [x,\rho(g^{-1})\phi] $. Volveremos a esta construcción, pero creo que es mejor en este momento para concentrarse en el mapa de $S$ en este momento

2.Así rememeber estamos en el espacio-tiempo parche $\mathcal{U}_i$ con el mapa de $S$ en nuestra mano. Con ello construimos el producto cartesiano $ \mathcal{U}_i \times G $. Si llegamos a encontrar la superposición de dos bloques abiertos $ \mathcal{U}_i \text{ and } \mathcal{U}_j $, para los conjuntos de puntos en la intersección tenemos que asegurarnos de que las cosas son consistentes, por lo definimos las funciones de $ t_{ij}: \mathcal{U}_i \cap \mathcal{U}_j \rightarrow G $ que actuarán en G i.e $(x, G) \rightarrow (x,t_{ij}(x)G)$. Haciendo esto para el conjunto del colector de $\mathcal{M}$ nos da otro colector $\mathcal{P}$ que es localmente $\mathcal{U}_i \times G $. Este el principal-$G$ paquete.

3.Como todos sabemos, requiriendo local medidor de invariancia en el paso uno se encuentra con un problema. El problema es el mapa $S$ debido a que a medida que avanzamos en el colector $\mathcal{M}$ necesitamos un método para pasar de una fibra a otra fibra en el director-$G$ paquete. Para ello, es necesario introducir una conexión de $\Omega$ sobre el capital-$G$ paquete. Pero los físicos siempre funcionan en la base del colector así que tenemos que tirar hacia atrás $\Omega$ a la base del colector por algunos de la sección $\sigma $ i.e calcular el $\sigma^*\Omega \equiv A $. Ahora, por supuesto, estos son definidos localmente secciones y así, cuando estamos en la intersección de dos espacio-tiempo parches $\mathcal{U}_i\cap \mathcal{U}_j $ tendremos dos secciones $\sigma, \sigma'$. Esto significa que obtendrá $ \sigma^*\Omega = A $$\sigma'^*\Omega=A' $. Las dos secciones están relacionados por el mapa $S$ i.e $\sigma' = R_{S(x)}\sigma = \sigma S(x) = \sigma g $ i.e el grupo actúa por un derecho de acción.

4.Para calcular el $\sigma^*\Omega$ nos tenga en cuenta que $<\sigma^*\Omega, v>= <\Omega, \sigma_* v >$ donde $v$ es un vector en el principal paquete. Un complicado cálculo de la muestra $\sigma'_*v = R_{g*}(\sigma_{*}v)+\eta_x(p) $ donde $\eta_X$ es un vector fundamental de campo, $X = <S^*\theta,v>$ $\theta $ es el Maurer-Cartan forma y $g$ es la imagen de $S$. Para mostrar esto funciona hacemos el cálculo $(\sigma'^* \omega)(v)= <\Omega,\sigma'v> = <\Omega,R_{g*}(\sigma_*v)>+<\Omega,\eta_X(pg)= <R^*_g\Omega,\sigma_*v> +X = <Ad_{g^-1}\Omega,\sigma_*v>+X=<Ad_{g^{-1}}A + S^*\theta,v> $ Esto por supuesto es lo habitual en la transformación de la regla para el medidor de campo sobre la base del colector de

5.Podemos ahora el estado el hecho de que tenemos asociado un paquete de $\mathcal{A}$ $\mathcal{P}\times_G V = (\mathcal{P}\times V)/G $ e es localmente $\mathcal{U}_i \times V $ con secciones como se define en el paso 1. Las secciones de este grupo son lo que los físicos llaman los campos.