Dejemos que $(\Omega,\Sigma)$ sea un espacio medible. Denotemos por $ba(\Sigma)$ el conjunto de todas las medidas acotadas y finitamente aditivas sobre $(\Omega,\Sigma)$ (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ba_space para una definición). Es el conjunto de todas las medidas de probabilidad $\mathcal{M}_1(\Sigma)\subseteq ba(\Sigma)$ ¿débil*-cerrado? La topología débil* de $ba(\Sigma)$ es la topología más débil que permite que los mapas $l_Z:ba(\Sigma)\rightarrow \mathbb{R}$ , mapeo $\mu\mapsto \int_\Omega Z d\mu$ son continuos para todos los mapas acotados y medibles $Z:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No. Toma $\Omega=\mathbb N$ y $\Sigma$ el conjunto de energía. Como dice la wikipedia, entonces $ba(\Sigma)=ba=(\ell^\infty)^*$ . Sin embargo, la colección de medidas de probabilidad es sólo la colección de $(x_n)\in\ell^1$ (como medidas a son contablemente aditivas) con $x_n\geq 0$ para todos $n$ y $\sum_n x_n=1$ . Esto no es débil $^*$ -encerrado $(\ell^\infty)^*$ . Por ejemplo, cualquier punto límite del conjunto $\{\delta_n:n\in\mathbb N\}$ , donde $\delta_n\in\ell^1$ es la masa puntual en $n$ es miembro de $ba \setminus \ell^1$ .
