Compactibilidad de $(M, d)$ en términos de funciones continuas $f:M\to \mathbb R$

Question

Supongamos que $(M,d)$ un espacio métrico. Quiero demostrar que

Si toda función continua de valor real sobre $M$ alcanza un máximo, entonces $(M, d)$ es compacto.

Estaba tratando de hacer esto asumiendo $M$ no compacto y mostrando explícitamente una función que no alcanza un máximo. Si $M$ no está acotado basta con tomar la distancia desde un punto fijo ya que siempre podemos encontrar una secuencia que "salga" de todo compacto y lleve la distancia al infinito. Pero ¿y si $M$ está limitado?

Answer 1

Si $M$ no es compacta, entonces existe una secuencia $(x_n)$ sin subsecuencias convergentes. La sucesión es un subespacio discreto cerrado por lo que el mapa $f: \{x_n:n\in\mathbb N\}\to \mathbb R$ dado por $x_n\to n$ es continua. Por la Teorema de extensión de Tietze tiene una extensión continua $F: M\to\mathbb R$ . Claramente, $F$ no tiene límites.

Answer 2

Con esto no pretendo sustituir la respuesta de azarel, sino mostrar con más detalle cómo surgen funciones no limitadas de valor real en espacios métricos no compactos.

Recordemos que si un espacio métrico $\langle X,d\rangle$ no es compacta, entonces o no es completa, o no está totalmente acotada.

Si no es completa, tiene una secuencia de Cauchy $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ que no converge; defina $$f:X\to\mathbb{R}:x\mapsto\lim_{n\to\infty}d(x,x_n)\;.$$

Intuitivamente, $f(x)$ es la distancia desde $x$ al punto inexistente al que quiere converger la sucesión de Cauchy, por lo que cabría esperar que $f$ exista y sea continua, y de hecho esto no es difícil de demostrar. Además, $f(x)$ nunca es $0$ porque la sucesión de Cauchy no tiene límite en $X$ . Así, la función $$g:X\to\mathbb{R}:x\mapsto\frac1{f(x)}$$ es continua, y también es claramente ilimitada, ya que $$\lim_{n\to\infty}g(x_n)=\infty\;.$$ En efecto, hemos empujado ese límite inexistente de la sucesión de Cauchy para que sea un punto en el infinito.

Si $X$ no está totalmente acotado, existe un $r>0$ tal que ninguna colección finita de abiertos $r$ -cubrebolas $X$ . Así, podemos construir recursivamente una secuencia $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ tal que para cada $n\in\omega$ , $$x_n\in X\setminus\bigcup_{k<n}B(x_k,r)\;,$$ donde $B(x_k,r)$ es la bola abierta de radio $r$ centrado en $x_k$ . Tenga en cuenta que $d(x_m,x_n)\ge r$ siempre que $m<n<\omega$ Así que $\{B(x_n,r/3):n\in\omega\}$ es una familia infinita de bolas abiertas, disjuntas por pares, de radio $r/3$ . Ahora dejemos que

$$\begin{align*} g&:X\to\mathbb{R}:\\ &x\mapsto\begin{cases} 0,&\text{if }x\in X\setminus\bigcup_{n\in\omega}B\left(x_n,\frac{r}3\right)\\\\ \frac{3n}r\left(\frac{r}3-d(x,x_n)\right),&\text{if }x\in B\left(x_n,\frac{r}3\right)\;. \end{cases}\end{align*}$$

Claramente $g(x_n)=n$ para cada $n\in\omega$ Así que $g$ es ilimitado, y una vez más no es difícil demostrar que $g$ es continua.

Esta vez la idea intuitiva es sustituir la función continua $$B(x,s)\to\mathbb{R}:y\mapsto d(x,y)$$ que mide la distancia desde el centro de una bola con la función $$B(x,s)\to\mathbb{R}:y\mapsto s-d(x,y)\tag{1}$$ que en cierto sentido mide la distancia desde el límite de la bola, y luego 'inflar' la función en $(1)$ haciendo que el radio de la bola parezca mayor que $s$ . Como tenemos infinitas bolas con las que jugar, y no interfieren unas con otras, podemos obtener "explosiones" arbitrariamente grandes.