Función que satisface una desigualdad simétrica de dos variables

Question

¿Alguien sabe si existe una función medible $f: {\mathbb R} \to {\mathbb R}$ tal que

$$|x+y|-|x-y| \geq f(x)f(y)$$

para cualquier $x,y \in {\mathbb R}$ .

Motivación : si $f$ existe, se puede deducir inmediatamente una fácil respuesta a eso otra pregunta .

Answer 1

Dejemos que $f$ sea una función (sin más supuestos, ni siquiera la mensurabilidad) $\mathbb R\to \mathbb R$ con $$\tag1f(x)f(y)\le |x+y|-|x-y|\quad\text{for al }x,y\in\mathbb R.$$ Supongamos que hay $y>0$ con $f(y)>0$ . Entonces para $x\ge y$ tenemos $f(x)\le \frac{2y}{f(y)}$ y para $0\le x<y$ , $f(x)\le \frac{2x}{f(y)}\le \frac{2y}{f(y)}$ . Por lo tanto, $f$ está acotada desde arriba sobre los reales no negativos. Como las funciones $x\mapsto -f(x)$ y $x\mapsto f(-x)$ también satisfacen $(1)$ concluimos que $f$ está acotado, digamos $|f(x)|\le M$ para todos $x$ . Pero si conectamos $x=M^2+1>0$ y $y=-x$ en $(1)$ obtenemos $$-M^2\le f(M^2+1)f(-M^2-1)\le-2M^2-2,$$ y por lo tanto $M^2\le-2$ una contradicción.

Concluimos que ninguna función que satisfaga $(1)$ existe.