Resolver la ecuación de $2x^2+5y^2+6xy-2x-4y+1=0$ en los números reales

Question

<blockquote> <p>Resolver la ecuación de $2x^2+5y^2+6xy-2x-4y+1=0$</p> </blockquote> <p>El problema no lo dice pero creo que las soluciones deben ser de $\mathbb{R}$. He intentado expresar la izquierda suma como una suma de cuadrados pero eso no funciona hacia fuera. ¿Alguna sugerencia?</p>

Answer 1

$$2x^2 + 5y^2 + 6xy -2x -4y+1=0$$

$$(1+1)x^2 + (4+1)y^2 + (4+2)xy - 2x -4y + 1=0$$

$$(x^2 +4y^2 +4xy -2x -4y + 1) + (x^2 +2xy + y^2)=0$$

$$(x+2y-1)^2 + (x+y)^2=0$$

Su idea de escribir la expresión como una suma de cuadrados es buena intuición. ¿Ahora, cuando una suma de cuadrados se puede cero? Cuando dos de los cuadrados son exactamente cero.

Por lo tanto

$$x+2y-1=0$$

$$x+y=0$$

Usted debe ser capaz de encontrar la solución aquí.

Answer 2

Se puede considerar que la ecuación es cuadrática en $y$ y entonces la solución es dada por el $$y=\frac{1}{5} \left(2-3 x \pm\sqrt{-(x+1)^2}\right)$$ In the real domain, $x = - 1$ (because of the radical) and then $y = 1$.

Answer 3

Se puede resolver para $x$:

$(2)x^2+(6y-2)x+(5y^2-4y+1)=0\implies$

$x_{1,2}=\frac{-(6y-2)\pm\sqrt{(6y-2)^2-4\cdot2\cdot(5y^2-4y+1)}}{2\cdot2}=\frac{-6y+2\pm\sqrt{-4y^2+8y-4}}{4}=\frac{-6y+2\pm\sqrt{-4(y-1)^2}}{4}=\frac{-6y+2\pm2i(y-1)}{4}$

Entonces la única solución real es con $y=1$, por lo tanto, $x=-1$.