TL;DR: No, es por definición no simétrica, aunque la ec. de OP. (3) sí que es válida.
Más detalladamente, si
$$S~:=~S^{ij}~e_i \otimes e_j~\in~ T^2V~=~V\otimes V \tag{A}$$
y
$$g~:=~g_{ij}~e^{\ast i} \otimes e^{\ast j}~\in~ T^2V^{\ast}~=~V^{\ast}\otimes V^{\ast}\tag{B}$$
son tensores simétricos
$$S^{ij}~=~S^{ji}\qquad\text{and}\qquad g_{ij}~=~g_{ji},\tag{C}$$
entonces el tensor mixto
$$ M~:=~ M^i{}_j~e_i \otimes e^{\ast j}~\in~ V\otimes V^{\ast},\tag{D}$$
dado por
$$ M^i{}_j~:=~S^{ik}g_{kj},\tag{E} $$
es no simétrica. Para empezar, el tensor transpuesto
$$ M^T~:=~ (M^T)_i{}^j ~e^{\ast i} \otimes e_j ~:=~M^j{}_i ~e^{\ast i} \otimes e_j~\in~ V^{\ast}\otimes V\tag{F}$$
vive en un espacio diferente, por lo que la condición de simetría potencial $$M~=~M^T \qquad\qquad(\longleftarrow \text{Wrong!}) \tag{G}$$ no tiene sentido formalmente. Lo que se sostiene en cambio es
$$ M^j{}_i~=:~(M^T)_i{}^j~=~g_{in} ~M^n{}_m~ (g^{-1})^{mj}~=:~M_i{}^j. \tag{H}$$
Ejemplo: Si
$$S^{ij}~=~\begin{pmatrix}0&1\cr1&0\end{pmatrix} \qquad\text{and}\qquad g_{ij}~=~\begin{pmatrix}1&0\cr0&2\end{pmatrix},\tag{I}$$
entonces la matriz
$$ M^i{}_j~=~\begin{pmatrix}0&2\cr1&0\end{pmatrix}\tag{J}$$
no es simétrico.
