Esto muestra una norma

Question

Quiero mostrar que$$\| x \| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{\left| x_n \right|}{1+\left| x_n \right|}$ $ es una norma. Estoy bien mostrando la positividad y la desigualdad del triángulo, para mostrar la segunda propiedad sin embargo$$\| \lambda x \| = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \frac{\left| \lambda x_n \right|}{1+\left| \lambda x_n \right|} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{\left| \lambda \right| \left| x_n \right|}{1+\left| \lambda \right| \left| x_n \right|} .... $ $ ¿A dónde vamos desde aquí?

Answer 1

Esto no es una norma De hecho, es solo una norma F. Por lo general, se define en un espacio de Fréchet. Y siempre se define mediante el uso de una serie de semi-normas. No estoy seguro de cómo se llama formalmente. Pero yo lo llamo F-norma.

Answer 2

Esto no es una norma Considere$x=(1,0,0,0,\ldots)$ y algo de$|\lambda| \neq 1$

Por ejemplo,$\lambda = 2$ obtenemos$$||\lambda x|| = \frac{|\lambda|}{2(1+|\lambda|)} = \frac{1}{3}$ $

pero en la otra mano

ps