Revertir el flujo de Ricci

Question

Supongamos $S$ es un cerrado, orientado a la superficie (2-colector) incrustado en $\mathbb{R}^3$, lo que hereda la métrica de $\mathbb{R}^3$, por lo que las distancias se miden por menor trazados sobre la superficie. Si es que al menos crudamente exacto decir que el flujo de Ricci suaviza la métrica/curvatura de modo que la superficie (eventualmente) evoluciona a una esfera, hay un sentido en el que "revertir el flujo de Ricci" concentrados de curvatura, en cierto sentido, agudiza la curvatura, y tal vez las particiones $S$ en las distintas regiones?

Esta es una pregunta ingenua, por lo que me disculpo de antemano; podría ser completa una tontería. Lo que quiero decir por la inversión de flujo de Ricci (mi propia terminología; tal vez hay terminología estándar?), podría ser simplemente cambiando de signo en la ecuación de Hamilton:

$$\frac{\partial g}{\partial t} \ = \ 2 \ {\bf Ric}(g) \;.$$

Lo que quiero decir por "agudiza la curvatura" es algo parecido a la imagen de operadores de máquinas de procesamiento que mejoren los límites entre las regiones para segmentar una imagen (detección de bordes). Me estoy imaginando la segmentación de una superficie de $S$ por la inversión de flujo de Ricci.

Un problema que se puede prever es que es que la inversión de la ecuación del calor es inherentemente inestable, y tal vez el mismo es verdad. Pero tal vez, en la situación específica de $S \subset \mathbb{R}^3$ heredar la métrica Euclidiana, la inestabilidad no son tan graves ya que podría ser para arbitrario de Riemann colectores.

Todo esto es pura especulación por mi parte. Comprobaciones de la realidad, referencias, o más especulación—todos bienvenidos!

Answer 1

Este es un laico de respuesta.

Lo que usted está probablemente después de que es algo así como decir la curvatura de flujo. Esta ecuación de evolución hace concentrado de curvatura, una buena referencia para que esto ocurra con convexo inicial hypersurfaces es Huisken el seminal trabajo de 1984 en JUE. Más recientemente, las personas han trabajado en la cirugía para la media de la curvatura de flujo, lo que hace romper la hipersuperficie en las distintas regiones donde la curvatura se concentra en las singularidades.

Para tu pregunta específica, no es posible. La singularidad en el tiempo hacia atrás es una basura: el PDE no es parabólico. Hay una clara e intuitiva razón para ello. El flujo de Ricci evoluciona geometrías hacia un modelo de estado: en una esfera con curvatura positiva, hacia la geometría de una esfera. Ahora piense en esto por un segundo. Todos curvatura positiva geometrías evolucionar hacia una geometría -- como usted escribió, el efecto del flujo de Ricci es para `suavizar' regiones de curvatura. Ahora si puedo empezar en el objetivo de la geometría del modelo, y el flujo en el tiempo hacia atrás en dirección de, ¿cómo puedo saber qué menos-ideal-pero-de manera positiva-la geometría curva de elegir?

Este es el problema básico con ecuaciones que no son parabólicas. En general, para invertir el tiempo es una muy especial y delicado cosa y se necesita mucha más información para hacerlo con cualquier significado. En este sentido, me atrevo que el flujo de Ricci no es la herramienta que estás buscando.

Answer 2

En http://en.wikipedia.org/wiki/Ricci_flow#Relation_to_diffusion encontrará un cálculo explícito de la forma de la ecuación en un colector de 2 dimensiones. La ecuación es, hasta manipulaciones triviales, la ecuación del calor generalmente en el plano. Se trata de una ecuación de evolución irreversible.