¿Cuál es la explicación intuitiva de que el volumen de un sólido es $ \frac {1}{3} A_{base} h$ ?

Question

Puedo ver por qué el área de un triángulo es $A = \frac {1}{2} bh$ porque es la mitad de un rectángulo con lados $b$ y $h$ pero no veo la explicación intuitiva de esta fórmula general del volumen. (Sí, soy consciente de que no funciona para todo). Si yo tomara la misma intuición y comparara la pirámide con el prisma, no veo cómo la relación de sus volúmenes es $1$ a $3$ -- no hay un obvio "encaje" de uno en el otro.

Answer 1

Examine esta foto. Si quisiera llenar el resto del cubo, podría necesitar dos pirámides más, cada una cortada por la mitad verticalmente y colocada en una cara inclinada de la pirámide dibujada.

Answer 2

Toma un cubo de lado $s$ . Tiene volumen $s^3$ . Toma el punto central y dibuja líneas desde cada esquina hacia el centro. Esto descompone el cubo en $6$ pirámides, una para cada lado del cubo original (comparten una punta común).

Cada pirámide debe tener un volumen $s^3/6$ ya que hay $6$ de ellos y todos tienen la misma forma.

Cada pirámide tiene una base $b = s^2$ y la altura $h = s/2$ . Como queríamos mostrar, $ \frac {1}{3}bh = s^3/6$ .

(Cada vez que trato de cortar un cubo en 3 pirámides me encuentro con problemas de visualización, por lo que la construcción de 6 pirámides es mucho más intuitiva para mí).