Distancia entre un punto y una línea en el espacio

Question

Tengo dos puntos $P_1(x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2)$ en una línea, $L$ , y otro punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ .

Quiero encontrar la distancia entre $P_0$ y $L$ . ¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

La distancia más corta de un punto a una recta es siempre perpendicular a la recta dada. En este caso, la recta dada está en la dirección del vector $\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\rangle$ . El avión $(x_2- x_1)(x- x_0)+ (y_2- y_1)(y- y_0)+ (z_2- z_1)(z- z_0)= 0$ tiene ese vector como vector normal y contiene el punto $(x_0, y_0, z_0)$ por lo que la distancia más corta es a través de ese plano. Determina dónde se cruza la recta dada con ese plano. La distancia más corta es la distancia desde ese punto de intersección hasta $(x_0, y_0, z_0)$ .

Answer 2

La distancia $h$ desde el punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ a la línea que pasa por $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ y $P_2=(x_2,y_2,z_2)$ viene dada por $h=2A/r$ , donde $A$ es el área de un triángulo definido por los tres puntos y $r$ es la distancia desde $P_1$ a $P_2$ . Los valores de $r$ y $A$ puede calcularse como sigue:

$r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ y $A=\frac{1}{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},$

donde

$a_1=x_0y_1+x_1y_2+x_2y_0 - (y_0x_1+y_1x_2+y_2x_0),\\ a_2=y_0z_1+y_1z_2+y_2z_0 - (z_0y_1+z_1y_2+z_2y_0),\\ a_3=x_0z_1+x_1z_2+x_2z_0 - (z_0x_1+z_1x_2+z_2x_0).$

Answer 3

He pensado en proporcionar una imagen: