Existencia de grupo $G$ $|G|>2$ y automorphism grupo de orden impar

Question

En Rotman de la introducción a la teoría de grupos, hay un ejercicio (7.9) donde uno tiene que probar que los siguientes hechos para un grupo finito $G$.

• Si $G$ es abelian y $|G|>2$ $\text{Aut}(G)$ incluso ha pedido
• $\text{Aut}(G)$ no es cíclico al $G$ no es abelian
• $\text{Aut}(G)$ nunca es cíclico de orden impar >1.

Todo esto es bastante fácil, pero me preguntaba si existe incluso un grupo de $G$ $|G|>2$ a que automorphism grupo de orden impar. Alguien tiene un ejemplo o referencia (no podía encontrarlo por el simple búsqueda en internet)?

Claramente $G$ no puede ser abelian, simétrica, alternando, diedro, ... por lo que el más obvio contraejemplos no funcionan.

Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, existe, de hecho, un grupo explícitamente conocida con el extraño fin de automorphism grupo, de la orden de $5^7$ y el exponente $125$. Para una discusión con más referencias ver este MO-pregunta.

Referencias: En un Mínimo de las Órdenes de los Grupos con los Impares Fin de Automorphism Grupos.

Answer 2

Hay muchos ejemplos de finito $p$, $p$ un primo, cuya automorphism grupo es una $p$-grupo. Así, por $p > 2$ brindan ejemplos de la clase que usted está buscando.

Accesible construcción se da en mi papel

A. Caranti. Una construcción simple para una clase de $p$-grupos con todos los automorfismos central. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 135 (2016), 251-258.

El papel se puede encontrar en el arXiv.