multiplicidad geométrica= multiplicidad algebraica para una matriz simétrica

Question

¿Podría alguien decirme cómo probar:

$\lambda$ sea un valor propio de una matriz simétrica $A$ entonces, ¿cómo demostrar que la multiplicidad geométrica y la multiplicidad algebraica son iguales?

Answer 1

Toda matriz simétrica es diagonalizable (esto se puede demostrar con un argumento de pequeña perturbación), es decir: tiene un conjunto completo de vectores propios ortogonales y es conjugada a una matriz diagonal. Por tanto, sólo hay que demostrar la afirmación para la matriz diagonal. Las matrices simétricas no tienen ningún bloque de Jordan en su descomposición espectral, lo que provoca discrepancias en las multiplicidades geométricas y algebraicas de los valores propios.

Answer 2

Repasemos primero algunos teoremas matriciales básicos:

1. Multiplicidad geométrica $\gamma(\lambda)$ es la dimensión de $ker(A- \lambda I)$ ; Multiplicidad algebraica $\mu(\lambda)$ es la suma de los tamaños de todos los bloques de Jordan correspondientes a un valor propio $\lambda$ y $\gamma\leq \mu$ .
2. Supongamos que $A$ es simétrica, podemos diagonalizarla como $A=Q\Lambda Q^{T},\ Q^{T}=Q^{-1}$ .
   $\Lambda$ es una matriz diagonal con valores propios de la matriz $A$ en la línea diagonal principal; $Q$ es un Matriz ortonormal con el espacio de la columna como el span de los Eigenspaces. Siempre podemos construir un Eigenspace para cada $\lambda$ con tamaño de Multiplicidad Algebraica $\mu(\lambda)$ .

Para un valor propio específico $\lambda$ , si Multiplicidad geométrica $\gamma(\lambda)$ es igual a la Multiplicidad Algebraica $\mu(\lambda)$ Esto significa que el tamaño del mayor bloque de Jordan debe ser 1 y hay $\mu=\gamma$ bloques para $\lambda$ . En otras palabras, para cualquier cápsula propia $\lambda$ y su eigevector $v$ : $$(A-\lambda I)^{\mu}v=0\iff (A-\lambda I)v=0$$

Pruébalo: $$(A-\lambda I)^{\mu}v=(Q\Lambda Q^{T}-\lambda I)^{\mu}v=[Q(\Lambda-\lambda I)Q^{T}]^{\mu}v=[Q(\Lambda-\lambda I)^{\mu}][Q^{T}v]=0$$ Dado que los vectores columna de $Q$ se construyen como base ortonormal, obtenemos la ecuación anterior. Tomemos un ejemplo de $\lambda=\lambda_{i}$ para aclararlo, asuma la multiplicidad algebraica $\mu(\lambda_{i}) = 2$ , $v = v_{i_{1}}$ como su vector propio y construir otro vector base $v_{i_2}$ con sujeción a $v_{i_{2}} \bot v_{i_{1}}$ que abarcan el eigespacio de $\lambda_{i}$ . Reescribir la ecuación anterior como 2 partes separadas considerando la ortonormalidad de los vectores propios: $$ \left( \begin{array}{cccccc} |&\cdots&|&|&\cdots&| \\ (\lambda_{1}-\lambda)^{2}v_{1}&\cdots&(\lambda_{i}-\lambda)^{2}v_{{i}_{1}}&(\lambda_{i}-\lambda)^{2}v_{i_{2}}&\cdots&(\lambda_{n}-\lambda)^{2}v_{n} \\ |&\cdots&|&|&\cdots&| \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0\\ \vdots\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right) = (\lambda_{i} -\ \lambda)^{2}v=0 $$ $$hence\ for\ \mu\in \mathbb{Z}^{+},\ (A-\lambda I)^{\mu}v=Q(\Lambda-\lambda I)^{\mu}Q^{T}v=0$$ $$(A-\lambda I)v=0$$
y viceversa.

Answer 3

Si $A$ es simétrica real, entonces es diagonalizable. Es decir, hay alguna ortogonal $P$ tal que $AP=PD$ , donde $D$ es diagonal. Las columnas de $P$ son cada uno de los vectores propios, y forman una base. Por tanto, todas las multiplicidades geométricas son iguales a las algebraicas.