Existencia de un morfismo dado en varitey proyectivo (tarea)

Question

Necesitan ayuda en mi tarea:

que $X = \left \ {(icadas {0}: icadas {1}: icadas {2}: icadas {3}: icadas {4}) \in \mathbb{P}^{4}: rk\begin{pmatrix} x{0} & x{1} & x{2}\ x{2} & x{3} & x{4} \end{pmatrix}

1. muestran que existe un morfismo $\varphi :X\rightarrow \mathbb{P}^2 $ que en el subconjunto abierto de $X$ donde $(x{0},x{1},x{2}) \neq(0,0,0)$ está dado por el % de proyección $ (x{0}:x{1}:x{2}:x{3}:x{4}) \mapsto (x{0},x{1},x_{2})$
2. por cada punto $P \in \mathbb{P}^{2} $ determinar el % de imagen inversa $\varphi ^{-1}(P)$

Pensé en un principio para mostrar X como V(I), pero no tengo ninguna intuición de lo que podría ser, ¿puede ayudar?

Answer 1

Aquí hay algunos hechos que usted debe demostrar y que resolver el ejercicio:

1. Sí $X=V(I)$$I=(x_0x_3-x_1x_2,x_ox_4-x_2^2,x_1x_4-x_2x_3)$ .

2. La definición completa de los morfismos $\phi:X\to \mathbb P^2$ es:
   $$\phi (x_0:x_1:x_2:x_3:x_4)=(x_0:x_1:x_2) \quad \text{if} \: (x_{0},x_{1},x_{2}) \neq(0,0,0) $$ $$\phi (x_0:x_1:x_2:x_3:x_4)=(x_2:x_3:x_4) \quad \text{if} \: (x_{2},x_{3},x_{4}) \neq(0,0,0)$$ The rank $\lt2$ condition ensures that these definitions are compatible on $X$ and thus that $\phi$ is a well defined morphism $X\to \mathbb P^2$.

3. Puntos en $\mathbb P^2$ tiene exactamente una preimagen, excepto para $(0:1:0)$ que tiene como preimagen del conjunto proyectivo de la línea de $x_0=x_2=x_4=0$ [paramétricamente los puntos de $(0:x_1:0:x_3:0) $ ] incluido en $X$.

Conclusión
La variedad $X$ es isomorfo a $\mathbb P^2$ soplado en $(0:1:0)$.
Bastante bastante problema que!

Answer 2

Esta respuesta es un complemento a la conclusión de Georges respuesta.

En primer lugar, la construcción de un racional mapa de $\sigma:\mathbb{P}^2\dashrightarrow\mathbb{P}^4$ definido por $$(x_0:x_1:x_2)\mapsto(x_0^2:x_0 x_1:x_0 x_2:x_1 x_2:x_2^2) $$

Obviamente $\sigma$ no se define sólo en $(0:1:0)$, y es fácil comprobar que el cierre de la imagen de $\mathbb{P}^2$ bajo $\sigma$ es exactamente $X$ (en realidad $\sigma=\varphi^{-1}$!).

Reclamo: $X$ es isomorfo a $\mathbb{P}^2$ soplado en $(0:1:0)$, e $\sigma$ es exactamente el golpe del mapa.

Considerar la Veronese incrustación $\bar\sigma:\mathbb{P}^2\rightarrow\mathbb{P}^5$ definido por $$ (x_0:x_1:x_2)\mapsto(x_0^2:x_0 x_1:x_0 x_2:x_1, x_2:x_2^2:x_1^2) $$ El mapa de proyección $\pi:\mathbb{P}^5\dashrightarrow \mathbb{P}^4$ está definido por la omisión de la última homogénea de coordenadas de $\mathbb{P}^5$, entonces obviamente $\sigma=\pi\circ\bar\sigma$. Denotar $\bar X=\bar\sigma(\mathbb{P}^2)$, con lo que obtenemos una racional mapa de $\pi:\bar X\dashrightarrow X$.

El centro de $p$ de la proyección de $\pi$$p=(0:0:0:0:0:1)=\bar\sigma(0:1:0)\in \bar X$, por lo tanto $X$ es la proyección de $\bar X$ centro $p\in\bar X$. Desde $\bar X$ no contiene líneas (de lo contrario, la preimagen de esta línea debe tener grado $1/2$$\mathbb{P}^2$!) y cada línea a través de $p$ pasa más de un punto en el $\bar X$ (teniendo en cuenta la multiplicidad, porque $\bar X$ es la intersección de la cuadrática hypersurfaces), $\pi:\bar X\dashrightarrow X$ es exactamente el golpe del mapa de $\bar X$$p$. Por lo tanto, $\sigma=\pi\circ\bar\sigma$ es el golpe del mapa de $\mathbb{P^2}$$(0:1:0)$, e $\varphi$ es el golpe hacia abajo del mapa.