Organizar 3 artículos en 7 lugares

Question

Sólo quería asegurarme de que mi respuesta a un problema que es correcto.

Si tenemos 3 diferentes elementos, ¿de cuántas maneras distintas podemos arreglar entre 7 puntos? ¿Y si cada elemento era exactamente el mismo y que no se preocupan por el orden de los 3 elementos?

Si hemos de escoger siempre el mismo primer elemento y así sucesivamente, obtenemos 7 * 6 * 5 porque para el primer elemento tenemos 7 puntos posibles, a continuación, 6, 5. A continuación, por simetría se multiplica por 3! para tener en cuenta el número de permutaciones posibles de los elementos para obtener 7!3!/4!? Entonces podríamos dividir por 3! a la gota de todas las permutaciones de los elementos para obtener 7!/4! .

Otra forma en que me importaba era lo que tenemos un total de 7 artículos, un grupo de 3 y uno de cuatro. 7!/4! dejaría de todas las permutaciones del grupo de los 4, que sería una especie de paralelo a tener 3 elementos en 7 espacios donde nos preocupamos por la orden. Desde que nos deshiciéramos de todas las permutaciones de 3! para obtener 7!/4!3!.

Los números parecen fuera. ¿De dónde me salen mal? Supongo que en algún lugar con el 7!3!/4!

Answer 1

Esto responde a la pregunta que plantea en su primer comentario, debajo de la pregunta.

Primero por comodidad, vamos a hacerlo más pequeño:

Supongamos que hay $2$ elementos $b,c$ $3$ spots. Primero cojo $b$ y colocarlo en una de las $3$ spots. Posible resultado:

• $b..$
• $.b.$
• $..b$

Ahora, yo me $c$ y colocarlo en uno de los spots. Resultados posibles:

• $bc.$ o $b.c$
• $cb.$ o $.bc$
• $c.b$ o $.cb$

Si puedo permutar $b$$c$, a continuación, voy a conseguir los resultados que no estaban ya allí? No! Así que multiplicando por $2!$ estaría mal aquí.

Answer 2

Si usted asume que los 3 artículos son iguales, no es posible pedirlos. Asi que la respuesta es simplemente en de cuántas maneras se pueden seleccionar 3 puntos de los 7.

Que es ${7}\choose3$ = $\frac{7!}{3!4!}$.

Answer 3

Si asumimos que los tres elementos son distintos, entonces hay 7 lugares que usted puede colocar el primer elemento, 6 plazas restantes para colocar el segundo elemento y, finalmente, 5 lugares para colocar el elemento final de decisiones

$$7 \times 6 \times 5 = 210 \text{ distinguishable solutions}$$

Ahora bien, si los elementos no son distintos, habrá menos distinguibles soluciones, no más. Podemos organizar 3 artículos en $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$ formas, por lo dividimos por 3! no se multiplican dando:

$$\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{210}{6} = 40 \text{ distinguishable solutions}$$

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Para intentar explicar más digamos que hay tres bolas de color rojo, verde y azul como los que ya han trabajado esto le da 210 permutaciones. Ahora imaginemos un hombre ciego que no puede ver las pelotas pero se puede sentir. Para él debido a que las bolas todos se sienten de la misma y podemos organizar los 3 objetos en $3! = 6$ maneras de diferenciar a 6 veces el número de soluciones que él puede. Porque usted puede ver los colores, mientras que él no puede.

Debido a ello dividimos por 6 en lugar de multiplicar.