¿cómo demostrar que este límite es cero?

Question

$$\lim_{n\to\infty}(\frac{\sqrt{1\times2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\times3}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sqrt{n\times(n+1)}}{n^2+n})=0$$

Intenté usar $\sqrt{k(k+1)}\le\frac{2k+1}{2}$ o $k(k+1)=\sqrt{k}\times\sqrt{k}\times(k+1)\le\left(\frac{2\sqrt{k}+k+1}{3}\right)^3$ pero no ha funcionado nada. ¿Puedes mostrarme alguna pista para tratar $\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n^2+k}$ ? Gracias.

Answer 1

El límite no es $0$ Es decir, es $1/2$ . Observe que

$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2+i} < \sum_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{i(i+1)}}{n^2+i} < \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{n^2+i}$$

El límite de la izquierda es el mismo que el de la derecha. Por el teorema de Squeeze, el límite del medio también es el mismo. Por lo tanto, basta con encontrar el límite de la mano izquierda.

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2+i} \geq \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2n(n+1)} = \frac{1}{2}$$

Esto da $1/2$ como un límite desde abajo. Obtenemos $1/2$ como un límite superior observando $$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2+i} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$

El último paso es una suma de Riemann.

Answer 2

Si te gustan los números armónicos, a partir de $$\sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{i}{n^2+i} \lt \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{i(i+1)}}{n^2+i}\lt \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{i+1}{n^2+i}$$ tienes $$S_1=\sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{i}{n^2+i}=n+n^2\left(H_{n^2}- H_{n^2+n}\right)$$ $$S_2=\sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{i+1}{n^2+i}=n+(n^2-1)\left(H_{n^2}- H_{n^2+n}\right)$$ Ahora, utilizando la asintótica y continuando con las series de Taylor $$H_p=\gamma +\log \left({p}\right)+\frac{1}{2 p}-\frac{1}{12 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$ para grandes valores de $n$ , deberías tener $$S_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6 n}-\frac{1}{4 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ $$S_2=\frac{1}{2}+\frac{7}{6 n}-\frac{3}{4 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$