Si $f(n+1)=(-1)^{n+1}n-2f(n)$ y $f(1)=f(1986)$ encontrar $f(1)+f(2)+f(3)+...+f(1985)$

Question

Conseguí una solución pero era muy liosa con f(1)= $\frac{1987}{2^{1985}+1}$ y una fórmula explícita para $f(x)$ . Entonces todo el lío era un cocodrilo (Con muchos $2^{1985}$ y $4^{1985}$ términos) cuando lo resolví, así que supongo que cometí un error en alguna parte. (La respuesta debe ser más simple porque es un problema ARML)

Answer 1

Sustituir $1986$ por $N$ . Encontrar una fórmula más general será más fácil que hacer aritmética complicada.

La solución general de esta ecuación lineal no homogénea es $$ f(n) = (n+1) (-1)^{n+1} + c (-2)^n $$ para arbitraria $c$ . Para que $f(1) = f(N)$ donde $N$ es par, necesita $$c = \frac{N+3}{2^{N}+2} $$

Entonces $$\sum_{n=1}^{N-1} f(n) = - \frac{2^{N}+2}{3} c + \frac{N}{2} + 1 = \frac{N}{6}$$

En este caso, su respuesta es $1986/6 = 331$ .

Answer 2

Aquí tienes una versión totalmente operativa. La suma que buscamos es ( $N = 1986$ )

$$ \begin{align} S = \sum_{n = 1}^{N - 1}f(n) &= \sum_{n = 1}^{N - 1}\left((- 1)^n(n-1) - 2f(n-1)\right)\\ &= \sum_{n = 1}^{N - 1}(-1)^n(n-1) - 2\sum_{n = 1}^{N - 1}f(n-1)\ . \end{align} $$

Si miramos la primera suma del lado derecho y la escribimos, sabiendo $N$ es par, obtenemos

$$ \begin{align} \sum_{n = 1}^{N - 1}(-1)^n(n-1) &= 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (N - 3) - (N - 2)\\ &=0 + (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((N - 3) - (N - 2))\\ &=1 - \frac{N}{2}\ . \end{align} $$

Observando la suma del lado derecho, si sustituimos $n \rightarrow n + 1$ entonces

$$ \begin{align} \sum_{n = 1}^{N - 1}f(n-1) = \sum_{n = 0}^{N - 2}f(n) = \sum_{n = 1}^{N - 1}f(n) + f(0) - f(N-1) = S + f(0) - f(N-1)\ . \end{align} $$

Otra vez sabiendo $N$ es incluso en nuestro caso podemos calcular

$$ \begin{gather} f(1) = -2f(0)\quad \Rightarrow \quad f(0) = -\frac{1}{2}f(1)\ , \\ f(N) = -(N-1) - 2f(N-1)\quad \Rightarrow\quad f(N - 1) = -\frac{f(N) + (N - 1)}{2}\ . \end{gather} $$

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos

$$ \sum_{n = 1}^{N - 1}f(n-1) = \sum_{n = 1}^{N - 1}f(n) + \frac{1}{2}\left(f(N) - f(1) - (N - 1)\right)\ . $$

Sustituyendo de nuevo en $S$ y observando que $f(1) = f(N)$ finalmente obtenemos

$$ \begin{align} S &= 1 - \frac{N}{2} - 2S + \left(f(1) - f(N)\right) + N - 1\\ \Rightarrow 3S &= \frac{N}{2}\\ \Rightarrow S &= \frac{N}{6}\ . \end{align} $$

Answer 3

Idea : Escríbelo para cada n y al sumar hasta 1985, obtenemos : $ 3(\sum _{i=2}^{1985} f(i)) + 2f(1) + f(1986) = \sum_{j=1}^{1985} (-1)^{j+1} j $ Así se obtiene la suma de todos $f(i)$ hasta 1985. No sé cómo obtener el último término como un valor.

Answer 4

Abordémoslo en un caso un poco más general

Supongamos que $f(2k) = f(1)$

caso base $k=1$

$\sum_\limits{i=1}^{2k-1} f(i)$

$f(i) = (-1)^i (2^i-i-1 - 2^{i-1} f(1))\\ f(2k) = 2^{2k}-2k-1 - 2^{2k-1} f(1)= f(1)\\ f(1) = \frac {2^{2k} - 2k - 1}{2^{2k-1} +1}$

$\sum_\limits{i=1}^{2k-1} (-2)^i = -\frac{2^{2k}+2}{3}\\ -\sum_\limits{i=1}^{2k-1} (-1)^i(i) = k\\ -\sum_\limits{i=1}^{2k-1} (-1)^i(1) = 1\\ -\sum_\limits{i=1}^{2k-1} (-1)^i 2^{2k-1}f(1) = \frac{(2^{2k-1}+1)}{3}f(1)=\frac{2^{2k}-2k-1}{3}\\ $

$\sum_\limits{i=1}^{2k-1} f(i) = \frac {k}{3}$

$\sum_\limits{i=1}^{1985} f(i) = 331$