1 D onda PDE con condiciones de contorno "extraño"

Question

He sólo llegó a casa de un examen y no puede llegar a un acuerdo con el hecho de que no podía resolver la siguiente pregunta:

Encontrar una solución a

\left\$ {\begin{array}{ll} u{tt} - u{xx}=0, & x>0, t>0 \ u(x,0)=u_t(x,0)=0, & x>0 \ u(0,t)=e^t \sin{t}, & t>0 \ \end{matriz}. \right. $$

Probé la separación de variables y falló miserablemente. No tengo ni idea de cómo enfocar el problema, pero tal vez es porque estoy cansado después de mirar durante horas de 5h 3, recta. En algún momento incluso empecé a cuestionar si el problema era bien planteado.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Es cierto que soluciones de onda dos veces diferenciable definidas para todos los $x$ son de la forma $f(x+t)+g(x-t)$, pero creo que algo más se aplica aquí. La función $u(x,t) = e^{t-x}\sin(t-x)$ $0\le x\le t$ y $u(x,t) = 0$ $t\le x$, $\ t>0$ es probablemente lo que pretendía. Es una solución no diferenciable a lo largo de la ray $x=t$.