Gráfico del operador lineal débilmente continuo

Question

Tengo un par de preguntas con respecto a la gráfica de un operador. Considere la posibilidad de que el operador $T:X \rightarrow Y$ entre espacios de Banach $X,Y$. Suponga que $T$ es un operador lineal que es débil, débil)-continua, por lo $T$ es continua cuando $X$ $Y$ está dotado de la topología débil. Considere la gráfica de $G(T) := \{(x,y) \in X \times Y: ~~Tx = y \}$. Las dos preguntas que tengo son:

Podemos concluir que el $G(T)$ es débilmente cerrado subespacio de $X \times Y$? También, desde la $G(T)$ es convexa podemos entonces, el uso del Teorema de Mazur a la conclusión de que la $G(T)$ está fuertemente cerrado en $X \times Y$?

Gracias.

Answer 1

El hecho general de que un mapa continuo entre los espacios topológicos de Hausdorff tiene un gráfico cerrado implica que$G(T)$ está cerrado en$(X,\sigma(X,X^*))\times (Y,\sigma(Y,Y^*) = (X\times Y, \sigma(X\times Y,(X\times Y)^*))$.

No necesita el teorema de Mazur para concluir que$G(T)$ está fuertemente cerrado: la topología fuerte (o normal) en$X\times Y$ es más fina que la topología débil y, por lo tanto, tiene más conjuntos cerrados. (Mazur dice lo contrario para conjuntos convexos).