Secuencia de matrices, condiciones equivalentes

Question

Estoy tratando de probarlo:

Deje que $B$ ser una matriz cuadrada. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $ \lim\limits_ {k \rightarrow\infty }B^k = 0$
2. $ \lim\limits_ {k \rightarrow\infty }B^kv = 0$ para cada vector $v$
3. $ \rho (B)<1$
4. $\|B\| < 1$ para al menos una norma de matriz subordinada $\| \cdot\ |$
5. La matriz $(I-B)$ es invertible y $$(I-B)^{-1}\ =\ \lim_ {k \rightarrow\infty }(I + B + \ldots + B^k).$$
6. La matriz $(I-B)$ es invertible y todos los valores propios de la matriz $(I+2(B-I)^{-1})$ tienen una parte real negativa.
7. Existe una matriz Hermitiana positiva definida $H$ de tal manera que la matriz (Hermitiana) $(H-B^*HB)$ es positivo definitivamente.
8. Dada cualquier norma de la matriz $\| \cdot\ |$ existe un número entero $l$ de tal manera que $\|B^l\| < 1$ .

Ya he probado casi todo, la única prueba que necesito es (lo que sea) $ \Rightarrow (7)$ , pero realmente no sé cómo hacerlo. Por favor, que alguien me ayude. Gracias de antemano.

Answer 1

Podemos mostrar que (3) implica (7). Dado que cada matriz compleja puede ser unida y triangularizada $$U^ \ast (H-B^ \ast HB)U=(U^ \ast HU)-(U^ \ast B^ \ast U)(U^ \ast HU)(U^ \ast BU) \tag {a}$$ para cualquier matriz unitaria $U$ puede asumir que $B$ ya es un triángulo superior. Ahora, dejemos $H=D^{-2}$ donde $D= \operatorname {diag}(1, \varepsilon , \varepsilon ^3, \ldots , \varepsilon ^{n-1})$ con $ \varepsilon >0$ . Luego $$H-B^ \ast HB=D^{-1} \left (I-(D^{-1}BD)^ \ast (D^{-1}BD) \right )D^{-1}. \tag {b}$$ Como $B$ es el triángulo superior, $ \lim_ { \varepsilon\to0 ^+}D^{-1}BD$ es la diagonal de $B$ . Por lo tanto, el RHS de $(b)$ es positivo definitivamente cuando $ \varepsilon $ es pequeño porque $ \rho (B)<1$ .