Cíclicos Sylow $p$-subgrupos son centrales en su estabilizador cuando el menor divisor principal de $p$ $|G|$.

Question

<blockquote> <p>Sea $p$ el primer menor divide el orden de un grupo finito $G$. Si $P$ $\operatorname{Syl}_p(G)$ $P$ es cíclico, demostrar que $N_G(P)=C_G(P)$.</p> </blockquote> <p>Esto no es tarea. Es de Dummit y Foote. No estoy seguro de cómo aplicar ese $p$ tiene el orden más pequeño.</p>

Answer 1

Tomar por $\Sigma:N_G(P)\rightarrow \operatorname{Aut}(P)$. Entonces$\Sigma(g)=\sigma_g:x\mapsto g^{-1}xg$ es isomorfo a$N_G(P)/C_G(P)$. Como$\Sigma[N_G(P)]$ es cíclico$P$ tiene orden$\operatorname{Aut}(P)$ donde$\varphi(p^n)=p^{n-1}(p-1)$. Además,$p^n=|P|$ se centraliza a sí mismo, por lo que$P$. Todos los demás subgrupos de$\Sigma[P]=1$ deben tener un orden que no divida$N_G(P)$, ya que por suposición los demás primos son mayores que$p^{n-1}(p-1)$. Por lo tanto$p$. Esto completa la prueba.