grado de una cubierta etale de la línea afín

Question

Sea $X\subset \mathbb{A}^N_k$ sea una variedad lisa irreducible sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Supongamos que tenemos un mapa etale $\pi:X\to \mathbb{A}^1_k$ . ¿Existen límites para el grado de $\pi$ ? Aquí etale significa plano con fibras lisas y finitas. Me interesa principalmente el caso de la característica cero.

Answer 1

Aquí su $X$ no es más que un espacio de cobertura de un subconjunto abierto de $\mathbb{A}^1_k$ (esto se debe a que los mapas de etale están abiertos). Si $k$ es de característica 0, entonces esto se reduce básicamente al caso de $k = \mathbb{C}$ . En este caso el teorema de existencia de Riemann dice que todo puede hacerse topológicamente.

En particular, puede interesarle la teoría de los espacios de cobertura, que entre otras cosas dice que las clases de isomorfismo de grado $n$ espacios de cobertura de un espacio topológico "agradable $X$ están en biyección con clases de equivalencia de representaciones de permutaciones $\pi_1(X)\rightarrow S_n$ donde la relación de equivalencia es "módulo de composición por automorfismos internos de $S_n$ ". Aquí las cubiertas conectadas corresponden a representaciones de permutaciones transitivas (es decir, donde la imagen de $\pi_1(X)$ es un subgrupo transitivo de $S_n$ ).

Básicamente estás pidiendo un límite para los grados de coberturas finitas de subconjuntos de $\mathbb{C}$ que no existe.

Supongamos, por ejemplo, que desea cubiertas de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ . El grupo fundamental del plano perforado es $\mathbb{Z}$ y existen representaciones transitivas $\mathbb{Z}\rightarrow S_n$ para cada $n$ . De hecho, la cubierta universal aquí es conexa y tiene grado infinito.

Si sólo te interesan los mapas etale sobreyectivos $X\rightarrow\mathbb{A}^1_k$ entonces como $\mathbb{C}$ es simplemente conexo, no hay cubiertas no triviales de $\mathbb{A}^1_k$ .

Incluso si permite $k$ sea un campo numérico se puede utilizar el grupo fundamental etale para calcular que cada cubierta de un subconjunto de $\mathbb{A}^1$ realizable sobre $\mathbb{C}$ es realizable en $\mathbb{Q}$ (y, por tanto, sobre cualquier campo numérico).

No obstante, tenga en cuenta que si $k$ no es algebraicamente cerrado, entonces existen muchas cubiertas de $\mathbb{A}^1_k$ procedentes de tomar extensiones separables de $k$ .

Si $k$ es característico $p$ entonces las cosas se ponen bastante interesantes. Por ejemplo https://mathoverflow.net/questions/868/etale-covers-of-the-affine-line