Encontrar la ecuación del círculo bajo condiciones geométricas dadas

Question

Encontrar la ecuación del círculo que toca a la par de líneas $7x^2 - 18xy +7 y^2 = 0$ y el círculo de $x^2 + y^2 - 8x -8y = 0$ y contenidas en el círculo??

Mi intento El centro de la necesaria círculo se encuentran en la bisectriz de un ángulo del par de líneas ie $x=y$.

Suponiendo círculo a $(x-h)^2+(y-h)^2=r^2$

Ahora $2(h-8)^2=r^2$ ( distancia entre el extremo del círculo más grande y el centro de la figura del círculo,)

Soy incapaz marco de la segunda ecuación . Una forma sería la de calcular el ángulo entre el par de líneas rectas y utilizarlo para encontrar una relación entre el$r$$h$.

Sin embargo, yo estaba buscando una mejor solución o sugerencia ?

Answer 1

Usted está casi allí. Todo lo que necesitas es utilizar el hecho de que el centro del círculo es equidistante de ambas líneas. En particular, utilizando la fórmula de distancia, se puede escribir $$r^2 = \frac{((9+4\sqrt{2})h-7h)^2}{(9+4\sqrt{2})^2+7^2} = 2(h-8)^2 \implies h=6,12.$ $ ya que el centro $(h,h)$ mentiras en el círculo más grande, $h\neq 12$. En consecuencia, $h=6$ y $r^2=8.$ $$(x-6)^2+(y-6)^2=8$ $ es la ecuación del círculo buscado.

Tenga en cuenta que las líneas tangentes son $7y = (9\pm 4\sqrt{2})x.$

Answer 2

La bisectriz de un ángulo de las dos líneas de $y=\dfrac{1}{7} \left(9 \pm4 \sqrt{2} \right)x$ es la línea de $y=x$

El quería círculo, a continuación, el centro de $H(k,k)$ y su radio es la distancia de las líneas de $\left(9+4 \sqrt{2}\right) x-7 y=0$

$$r_k=\frac{\left|\left(9+4 \sqrt{2}\right) k-7 k\right|}{\sqrt{\left(9+4 \sqrt{2}\right)^2+49}}=\frac{\left|2 \left(1+2 \sqrt{2}\right) k\right|}{12+3 \sqrt{2}}$$ El quería círculo también debe ser tangente al círculo de $x^2-8 x+y^2-8 y=0$ tener centro de la $C(4,4)$ y radio de $R=4\sqrt{2}$

Un círculo es internamente tangente a otra cuando la distancia de los centros es igual a la diferencia de los radios (en valor absoluto)

Por lo tanto, debemos tener $CH=R-r_k$

que es $$\sqrt{(4-k)^2+(4-k)^2}=4\sqrt{2}-\frac{\left|2 \left(1+2 \sqrt{2}\right) k\right|}{12+3 \sqrt{2}}$$ que simplificado, dándose cuenta de que $k>4$ se convierte en $$\sqrt{2}(k-4)=\frac{2 \left(1+2 \sqrt{2}\right) (12-k)}{3 \left(4+\sqrt{2}\right)}$$ Después de echar un vistazo a las condiciones podemos decir que $k>4$, por lo que la ecuación anterior se convierte en $$\left(12+3 \sqrt{2}\right) \sqrt{2} (k-4)=2 \left(1+2 \sqrt{2}\right) k$$

La solución es $k=6$ y la quería círculo tiene por ecuación

$(x-6)^2+(y-6)^2=8\to \color{red}{x^2+y^2-12x-12y+64=0}$

Answer 3

Sugerencia:

El círculo buscado es el incircle de $\triangle ABC$.